dénombrabilité et densité, théorème de Baire

[invite335d994e]

Bonjour, j'aurai voulu un peu d'aide pour une question de rédaction :

Je considère une famille d'ouverts denses, le théorème de Baire (que j'ai déjà démontré) nous indique que si cette famille d'ouverts denses est dénombrable, alors l'intersection de tous les ouverts de cette famille est dense.
Par contre, je me doute bien que si cette famille est infinie non dénombrable, alors le résultat est faux. Mais je n'arrive pas à bien démontrer ce point.

Pour trouver un contre-exemple, je prends par exemple une droite, et j'enlève un point. Je crée ainsi à partir d'une même droite une famille d'ouverts denses. Si la famille est non dénombrable, j'ai envie de dire que entre 2 points je peux toujours en mettre un autre, et ainsi créer un intervalle, et l'intersection ne serait pas dense alors, mais je n'arrive pas à le rédiger, d'autant plus que dire juste cela fonctionnerai aussi si la famille était dénombrable.

Quelqu'un pourrait-il me donner une piste de rédaction?
Merci d'avance !
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[invite986312212]

ton exemple des droites privées d'un point est bon: l'intersection de tous ces ensembles est vide.

[invite335d994e]

mais comment le prouver rigoureusement? Parce que même avec un ensemble dénombrable, je peux toujours placer un point entre 2 points...

[invite335d994e]

je peux peut-être reformuler mon problème : comment montrer que cet ensemble de points peut former un ensemble continu, ou convexe, enfin sans trou ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Considerez la famille U_x = {IR-{x}}, tous les U_x sont des ouverts denses, mais leur intersection n'est pas bien grande

[invite335d994e]

Oui merci, je pense l'écrire comme ca :
IR - [0,1] peut être vu comme intersection des Ux, avec 0<x<1, qui n'est pas dense dans IR.
merci pour vos suggestion

[invite986312212]

que reproches-tu à l'ensemble vide?

[invite335d994e]

c'est sur qu'il n'est clairement pas dense dans E je ne voulais surtout pas vous offenser