Cherche une démonstration du Théorème de Weiertrass sur la convergence d´une suite de fonction

[Bartolomeo]

Bonjour,
Ceci est le théorème de Weierstrass:

Soit un domaine et une suite de fonctions analytiques , qui convergent localement uniformement. Dans ce cas la fonction limite est aussi analytique et la suite des fonctions dérivées converge localement uniformement vers .

Je cherche une démonstration détaillée qui montre la preuve que la suite des fonctions dérivées converge localement uniformement vers .

Cordialement.
Bart
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[invite4ef352d8]

Salut !

IL faut savoir que :
"une fonction est holomorphe si pour toute courbe fermé homotope à un point, l'intégrale de la fonction le long de cette courbe est nul".

le fait que l'intégrale le long d'une courbe soit nul est conservé par la convergence uniforme sur les compact, d'ou le résultat.


pour montrer que f'n -> f' il suffit d'ecrire que pour toute fonction holomorphe f :

f'(a) = 1/(2iPi) intégrale de f(z)/(z-a)² dz le long de n'importe quel petit cercle entourant a.

en appliquant ceci à f et fn, et en passant à la limite on trouve que f'n converge vers f'. et en rafinent un peu le raisonement (en fixans un voisinage V de a, et un cercle entourant tous ce voisinage) on montre que la convergence est localement uniforme.

Si tu n'as toujour pas vu les formules de cauchy/théorème des résidus, ca va être long et penible... voir impossible (on peut prouver la formule de cauchy sur un cercle pour des fonctions analytique, ca c'est facile, mais à la fin on va juste prouver que f est holomorphe et pas analytique... et holomorphe => analytique utilise la formule de cauchy...)