Puissance complexe

[NeutrinoSpace]

Salut à tous!


J'ai lu comment résoudre x^(i), en cos(ln(x))+isin(ln(x)); seulement cette méthode ne marche que pour x>0 ou x imaginaire. Comment faire lorsque x est nul? x est négatif?


De plus, il y a quelque chose que je n'arrive pas à comprendre totallement :

e^(i*3pi/2)=-i donc à priori, √(-i)=√(e^(i*3pi/2)
= e^(i*3pi/4)


En vérifiant à la calculette, j'obtiens en faite -√(-i); j'ai pensé à l'exemple :

(-4)²=(4)²
√[(-4)²]=-√[(4)²]

mais le même phénomène avec les exponentielles me semble bizarre, si vous pouvez m'éclaircir...


Merci de vos réponses!
-----

[gg0]

Bonjour.

On sait correctement définir les puissances complexes d'un réel positif en prolongeant la définition classique
mais pour étendre aux complexes quelconques, on a des difficultés (manque de cohérence). On les a déjà pour les réels quelconques : on ne sait pas définir de façon utile (utilisation des formules classiques) les puissances quelconques de réels négatifs.

Ton calcul avec racine carrée est d'ailleurs malsain: la fonction racine carrée ne s'étend pas de façon simple aux complexes (on peut en donner des définitions, mais on a toujours des cas où deux nombres de valeurs très proches ont des racines carrées très différentes. Pour en savoir plus, tu peux regarder sur le web les thèmes "surfaces de Riemann", ou "feuilletages".
A noter : la racine carrée de -1, c'est i ou -i ?

Cordialement.

[invite4842e1dc]

Bonjour

Comme te l'a expliqué gg0 la fonction racine carré ( ) n'est définie que sur les nombres réels positifs
( c'est la fonction réciproque de la restriction de le fonction "carré" sur les nombres entiers positifs)

ET si ou si tu as le droit d'utiliser l'expression "puissance 1/2" : c'est à dire

ps)
attention ce n'est pas forcément une fonction car a 2 solution qui sont i et -i

[gg0]

Attention, Ptitnoir-gris,

la puissance 1/2 n'est pas définie de façon claire ailleurs que sur les réels positifs. Ce n'est qu'une autre notation pour la racine carrée. Changer la notation ne supprime pas les problèmes ...

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[NeutrinoSpace]

Merci de vos réponses.

mais pour étendre aux complexes quelconques, on a des difficultés (manque de cohérence). On les a déjà pour les réels quelconques : on ne sait pas définir de façon utile (utilisation des formules classiques) les puissances quelconques de réels négatifs

Pourtant que je tappe ou , la calculatrice m'affiche le résultat, donc il y a un moyen de les calculer...

[breukin]

Elle fait un choix.

En fait, on peut écrire tout nombre complexe non nul sous la forme , et donc pour toute puissance complexe , ce qui donne une infinité de valeurs possibles (sauf pour une puissance rationnelle).

[breukin]

Par exemple, on a donc ce qui permet de trouver le choix fait par votre calculatrice.

[invite4842e1dc]

Bonjour

Pour information :

La fonction existe également en tant que fonction de dans

Lire l'article wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe

[albanxiii]

Bonjour,

La fonction existe également en tant que fonction de dans

Pas de entier dans . De privé d'une demi-droite d'origine O (= une coupure). Tout comme pour les racines.

... lire la page wiki ...

@+

[NeutrinoSpace]

Merci à tous de vos réponses.


Il y cependant quelque chose que je n'arrive pas à comprendre...
Soit → ;






or or ≠

Où est le problème? Les propriétés logarithmiques sont-elles conservées quand nous sommes dans ?


Merci.

[gg0]

Bonsoir.

Soit → ;

De quoi parles-tu ? Autrement dit, comment définis-tu ln(z) pour z différent d'un réel strictement positif ?

Cordialement.

NB : Il ne suffit pas d'écrire des assemblages de symboles pour que ça ait une signification.

[NeutrinoSpace]

Ce que je voulais dire, c'est qu'on considère la fonction logarithme dans le corps des complexes, si vous connaissez la notation appropriée, dîtes moi la s'il vous plaît.



Cordialement.

[gg0]

C'est quoi "la fonction logarithme dans le corps des complexes" ?

Si tu ne sais pas de quoi tu parles, comment veux-tu qu'on sache ? La fonction logarithme est définie sur les réels strictement positifs. Il y a plusieurs façons de la prolonger à certains complexes, mais aucune de conventionnelle car toutes posent des problèmes d'utilisation. Par exemple les formules de calcul ne se prolongent pas, comme tu l'as constaté.
Donc à toi de définir de quoi tu parles.

[NeutrinoSpace]

C'est quoi "la fonction logarithme dans le corps des complexes" ?

Si tu ne sais pas de quoi tu parles, comment veux-tu qu'on sache ? La fonction logarithme est définie sur les réels strictement positifs. Il y a plusieurs façons de la prolonger à certains complexes, mais aucune de conventionnelle car toutes posent des problèmes d'utilisation. Par exemple les formules de calcul ne se prolongent pas, comme tu l'as constaté.
Donc à toi de définir de quoi tu parles.

J'emploie les notations que j'ai vu dans les livres, donc je sais de quoi je parle, et je pense que je ne suis pas le seul à les employer.
Donc selon l'ensemble de définition, les propriétés ne sont pas les mêmes?

[invite4842e1dc]

Soit → ;

Bonsoir

As tu lu l'article sur Wikipédia ?

Il est expliqué qu'on peut "étendre" la fonction réelle logarithme népérien qui est définit uniquement sur "à d'autres nombres"

Par exemple pour tout nombre réel négatif en écrivant que


car on peut écrire (compte tenu de la propriété des fonctions logarithmes) :





Idem pour tout nombre complexe non nul

Exemple : et on peut écrire

[invite4842e1dc]

or ≠

Lis cette partie de l'article sur Wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Logarit...e_fonction_.3F

[NeutrinoSpace]

D'accord, j'ai compris.


Merci beaucoup.

[invite4842e1dc]

Comme tout nombre complexe z non nul est défini

- par un module |z| : c'est à dire par nombre réel > 0

- et par un angle arg(z) : dont les mesures (en radian) sont définies modulo


En posant avec

et on a donc : avec

Conclusion :
La fonction définie sur est périodique

[Médiat]

Bonjour,

Personnellement, je ne comprends pas la phrase

Conclusion :
La fonction définie sur

Pour définir une fonction, il me semble que définir l'ensemble d'arrivée (ce que vous n'avez pas fait) est tout aussi important que de définir l'ensemble de départ, merci de nous indiquer quel est cet ensemble d'arrivée.

Ne comprenant pas le début de la phrase, je n'arrive pas à donner un sens à la fin de cette même phrase :

[...]est périodique

[Seirios]

Comme tout nombre complexe z non nul est défini

- par un module |z| : c'est à dire par nombre réel > 0

- et par un angle arg(z) : dont les mesures (en radian) sont définies modulo


En posant avec

et on a donc : avec

Conclusion :
La fonction définie sur est périodique

D'après ce que tu as écrit, tu remarqueras que la définition d'un logarithme complexe dépend du choix d'un argument ; en particulier, si l'on souhaite que le logarithme soit au moins continu, alors on est obligé d'enlever une demi-doire au plan complexe, définissant le logarithme sur (par exemple) comme avec (c'est le choix le plus "naturel" pour l'argument, mais ce n'est pas le seul). Les logarithmes que l'on définit de cette façon diffèrent d'une constante additive , (c'est sans doute ce qu'il faut comprendre par "le logarithme est -périodique", expression qui reste fausse en l'état).

[gg0]

NeutrinoSpace,

J'emploie les notations que j'ai vu dans les livres, donc je sais de quoi je parle, et je pense que je ne suis pas le seul à les employer.

Je ne sais pas ce que tu as "vu dans les livres", mais il semblerait que tu n'as pas bien compris. De la même façon que tu n'as pas compris ce que faisait ta calculette (j'espère que le mode d'emploi le dit clairement).
J'espère que les diverses explications qui précèdent t'ont permis de comprendre que ce que tu disais est trop flou pour être utilisable.

Le problème de base est que la fonction de dans :

n'est pas bijective, loin s'en faut ! Elle est même bijective de période . Eh oui ! C'est elle qui est périodique (pas ln, quelle que soit la façon de la définir précisément).

Cordialement.

[invite4842e1dc]

@tous ( et en particulier Médiat , Seirios et gg0 )

J'ai encore une fois écrit n'importe quoi !

et merci pour vos commentaires et explications

C'est évident que la fonction "étendue" sur l'ensemble des nombres complexes n'est pas périodique : car par exemple

Pour info : je viens juste de comprendre pourquoi on ne peut définir cette fonction que sur

Je n'ai pas ( encore ) l'habitude de travailler sur les fonctions complexes à variable complexe
( à part dire écrire avec et fonctions réelles à variable complexe)
et je suis encore "un peu long à la détente" quand il faut comprendre des notions comme "la monodromie"

à+

ps)

Question :
Quand on veut travailler sur l'ensemble avec la fonction "Logarithme Népérien"
faut-il éviter d'écrire et utiliser plutôt une fonction notée ?

[Seirios]

Pour le logarithme défini au message #20 (logarithme dit naturel, celui que l'on utilise le plus souvent), on note généralement (donc avec une majuscule). Si on utilise un autre logarithme, il vaut mieux éviter la notation effectivement.

[invite4842e1dc]

merci même si je n'ai rien compris car je ne sais pas trop ce que tu entends par "le logarithme naturel" : est ce le logarithme à base 10 ?

Si le message n°20 est le message que tu as écrit ( car je n'ai pas trouvé les n° des messages )

alors comme tu as écrit
avec

Est ce que ton message explique:
qu'on note la fonction logarithme népérien sur les nombres complexes ?
-

- ou

- ou


ps)
Pour moi sur IR^+* la fonction notée est la fonction logarithme à base

[Seirios]

On définit le logarithme naturel sur , noté (à ne pas confondre avec le logarithme décimal sur les réels, qui ne prend pas de majuscule), par l'expression que tu donnes. (En particulier, on ne parle plus de logarithme népérien sur les complexes.)

[invite4842e1dc]

OK compris
Merci

[Seirios]

Le message #18 donne des candidats pour définir le logarithme complexe en espérant prolonger certaines propriétés algébriques du logarithme réel (comme ). Une autre méthode est considérer le logarithme comme une primitive de la fonction inverse.

Dans cette optique, il est naturelle de considérer l'intégrale où et est un chemin reliant à sans passer par l'origine. Il se trouve que dépend du chemin choisi (la liberté en précédemment trouvée correspond au nombre de tours qu'effectue autour de l'origine), cela provient essentiellement de l'existence d'un pôle en l'origine et la non simple connexité de ; en fait, on peut montrer qu'une fonction holomorphe sur un ouvert admet une primitive (toujours sur ) ssi pour tout chemin fermé dans (dans le cas de la fonction inverse, il suffit de considérer l'intégrale sur le cercle unité pour vérifier que cette condition n'est pas vérifiée).

Ce que l'on va faire, c'est donc prendre un ouvert simplement connexe de le plus grand possible (pour l'inclusion) ; le plus simple est alors d'enlever une demi-droite du plan, et comme on veut prolonger le logarithme des réels, on se place donc sur . Maintenant, ne dépend plus de la classe d'homotopie de , et le plus simple est de prendre pour un segment reliant à concaténé avec un arc de cercle allant de à , pour . On trouve alors une primitive de la fonction inverse s'annulant en : , qui n'est autre que le logarithme naturel.