Bonjour,
G un espace vectoriel et F un seV de G
g:G-->R linéaire continue
f:F-->R linéaire continue
Pourquoi la restriction de g à F entraine ||g||>=||f||?
merci de votre aide
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Bonjour,
G un espace vectoriel et F un seV de G
g:G-->R linéaire continue
f:F-->R linéaire continue
Pourquoi la restriction de g à F entraine ||g||>=||f||?
merci de votre aide
Bonjour,
Il nous manque le contexte pour te répondre : quel lien y a-t-il entre f et g ?
If your method does not solve the problem, change the problem.
j'essaye de montrer que ||g||=||f||
Salut
Je ne comprends l'énoncé de cet exo
d'après l'énoncé on a :
et est ce que la question de cet exo est : [B][I]démontrer que![]()
et ceci quelque soit le choix des normes choisies sur F et sur G ?
Autre question :
[I]Est ce que G est un EV de dimension fini ?
Explications supplémentaires :
Si G est un espace euclidien ( IR espace de dimension finie )
Via la norme "euclidienne"
je pense qu'il est évident que
car il suffit d'exprimer ces 2 normes en prenant comme base orthonormée de G une base issue d'une base orthonormée de F : par l'algorithme de Gram–Schmidt
et de calculer ces 2 expressions...
Si la question c'est de montrer queen tant que formes linéaires, il suffit de revenir à la définition de la norme pour ce genre de bestioles :
Par contre il est évident qu'il n'y a pas égalité : Prends G=R², F=(1,0)R et g((x,y))=y
La norme de g (sur tout l'espace) est égale à 1 (du moins pour les normes "classiques"), tandis que sa restriction à F est la fonction nulle
pourquoi a-t-on cette définition de la norme de g? sup(...)
dans mon cours ||g||=sup{|g(x)|, ||x||=1}
Bonjour,
Tu peux montrer que ces deux expressions sont équivalentes (en ajoutant queest non nul dans l'expression donnée par Tryss, ce qui est plus ou moins sous-entendu).
If your method does not solve the problem, change the problem.
j'ai encore une question:
d'après l'expression de Tryss, comment montrer mon inégalité?
Tu n'as pas vraiment préciser ce à quoi ton inégalité correspondait vraiment : f est-elle la restriction de g à F ?
If your method does not solve the problem, change the problem.
f est la restriction de g à F
Dans ce cas, c'est plutôt immédiat : tu es en train de comparer la borne supérieure d'une même expression sur deux ensembles dont l'un est inclus dans l'autre.
If your method does not solve the problem, change the problem.
dans ce cas je peux aussi bien utiliser
||g||=sup{|g(x)|,||x||<=1, x dans G}
Bien sûr, puisque les deux expressions sont égales.
If your method does not solve the problem, change the problem.
dans l'expression qu'à marqué Tryss
Pourquoi dans la définition de la norme de la restriction, on a norme de x dans G et pas dans F?
Simplement pour bien marquer qu'il s'agit de la même norme. On peut l'indicer G ou F mais il vaut mieux faire apparaître l'égalité de la norme de x.
Cordialement.
NB : Si on prend une norme différente sur G, tout est remis en cause.
Salut
J'ai une question :
Peux tu expliquer , quelle est la différence entre 1) et 2)
1)
G un espace vectoriel et F un seV de G
Soit :
g : G-->R linéaire continue
f : F-->R linéaire continue
2)
c'est à dire la restriction de g à F est égale à f
Si tu prends G=C (les nombres complexes), F = R (la droite réelle) ou C est vu comme espace vectoriel sur R (donc de dimension 2)
Alors :
l'application g(x+iy) = x+y est linéaire continue
l'application f(x) = -3x est linéaire continue
Mais si tu restreins g au sous espace vectoriel R, elle n'est pas égale à f
En gros, dans le 1), les deux applications peuvent très bien n'avoir aucun rapport (hormis leurs ensemble de définition et d'arrivée) tandis que dans le cas 2), il n'y a pas le choix
Salut
J'ai l'impression qu'il y a une ambiguité sur les différents objets mathématiques manipulés dans cet exo
Voici peut être des explications qui pourront aider à lever cette ambiguité :
Soit G un IR-E.V. et soit F un IR-S.E.V. de l'E.V. G
- une forme linéaire quelconque nommée f de F dans IR ( F-->R ) est une application dont l'EV de départ est de dimension = dim(F)
- et la forme linéaireavec g une forme linéaire quelconque de G dans IR ( G-->R )
avecest la notation de la restriction de la forme linéaire g à l'EV F
ET la forme linéaire notéeest une application dont l'EV de départ est de dimension = dim(G)