Norme vectorielle qui n'est pas une norme matricielle !

**ichigo01** · 14/09/2011, 00h52

Salut à tous, voici mon problème :
Je cherche une norme vectorielle sur $\text{[math]}$ qui n'est pas une norme matricielle !

La question étant posée par notre prof, je n'ai pas très bien compris le problème puisqu'une norme vectorielle est une norme matricielle sont deux choses différentes

Merci.

**Seirios** · 14/09/2011, 08h50

Bonjour,

Une norme matricielle est sans doute une norme vectorielle avec la propriété supplémentaire : $\text{[math]}$ . Je ne suis pas sûr que cette dénomination soit très répandue.
Dans tous les cas, on peut prendre la norme $\text{[math]}$ . C'est bien une norme vectoriel, et si l'on prend $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ .

**Garf** · 14/09/2011, 12h40

Une norme vectorielle, c'est une norme sur $\text{[math]}$ vu en tant que $\text{[math]}$ -espace vectoriel de dimension $\text{[math]}$ . Une norme matricielle, je suppose que c'est une norme de la forme :

$\text{[math]}$

qui satisfait la propriété évoquée par Seirios (question bonus, dont je ne connais pas la réponse : ces deux définitions de "norme matricielle" sont-elle équivalente ?)

La réponse de Seirios ne marche pas, tout simplement parce que ce qu'il propose n'est pas une norme. On pourrait prendre $\text{[math]}$ , mais le problème est que cette norme est une norme matricielle (associée à la norme euclidienne sur $\text{[math]}$ )...

Mon conseil : trouver une matrice $\text{[math]}$ assez simple (antidiagonale) telle que, par exemple, $\text{[math]}$ soit l'identité. Chercher une norme de la forme $\text{[math]}$ , où tous les $\text{[math]}$ sont strictement positifs, et régler les paramètres $\text{[math]}$ de telle sorte que l'on ait $\text{[math]}$ . Une remarque cependant : il n'y a aucune raison a priori de prendre l'identité. L'avantage, c'est qu'avoir beaucoup de $\text{[math]}$ sur les matrices devrait faciliter le calcul, et prendre l'identité comme référence devrait aider à trouver de telles matrices.

invite4ef352d8 · 14/09/2011, 13h03

Tout simplement, prend ta norme préféré sur Mn(R), et multiplie là par un scalaire de tel sorte que la norme de l'identité soit <1

tu aura alors ||Id*Id|| > ||Id||.||Id||

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invite986312212 · 14/09/2011, 14h03

Envoyé par Garf

Une norme vectorielle, c'est une norme sur $\text{[math]}$ vu en tant que $\text{[math]}$ -espace vectoriel de dimension $\text{[math]}$ . Une norme matricielle, je suppose que c'est une norme de la forme :

$\text{[math]}$

qui satisfait la propriété évoquée par Seirios (question bonus, dont je ne connais pas la réponse : ces deux définitions de "norme matricielle" sont-elle équivalente ?)

non.

On pourrait prendre $\text{[math]}$ , mais le problème est que cette norme est une norme matricielle (associée à la norme euclidienne sur $\text{[math]}$ )...

non plus.

**Garf** · 14/09/2011, 17h54

Mes excuses. On a en effet :

$\text{[math]}$

Cette norme n'en vérifie pas moins l'inégalité $\text{[math]}$ .

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