Limite de norme matricielle

[inviteccb29071]

Bonjour,
je suis bloque sur un exercice sur les normes matricielles. On considere une matrice T dans , et ||.|| la norme matricielle induite par la norme euclidienne sur .
On me demande de montrer que existe et que
,
ou est le rayon spectral de T.

l'inegalite de gauche est facile a montrer, et on a meme une egalite (meme si on me demande pas de la montrer). Par contre c'est l'egalite de droite qui me pose probleme. Il me semble qu'il faut que je montre que ma suite des est decroissante, mais ca j'y arrive pas.

Est ce que quelqu'un voit un autre moyen de resoudre ca ?

Merci beaucoup,
Mathieu
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[invite57a1e779]

Je note ; alors

donc , relation intéressante qui permet de prouver que .

[inviteccb29071]

Merci, j'avais pas pense a passer au log, j'avais la relation sur . Par contre, je vois toujours pas comment ca me permet de conclure. Je peux conclure sur des suites extraites de , comme , mais je vois pas comment conclure sur ...

[inviteccb29071]

Non vraiment, j'ai passe ma journee la dessus, y a un truc evident que je vois pas ou quoi ? J'ai essaye differentes combinaisons pour p et q pour passer a la limite ensuite, mais ca ne donne rien.
Et d'ailleurs je ne vois pas trop comment montrer simplement que la limite existe, sans invoquer la lourde demonstration qui consiste a montrer qu'elle est egale au rayon spectral...
Il faudrait montrer que la suite est decroissante je suppose, mais meme avec la relation des ln je n'y arrive pas.

Merci
Mathieu

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Par récurrence sur , on a, pour tout et tout : .

Ensuite, par division euclidienne, si , ; on choisit convenablement , et on regarde ce qui se passe lorsque tend vers l'infini.

[inviteccb29071]

Super, merci beaucoup ! J'avoue ne pas avoir vu venir le coup de la division euclidienne la dessous. En plus, en utilisant la liminf et la limsup, il me semble qu'on arrive a prouver l'existence de la limite avec cette petite "astuce" (je l'ai pas encore fait, mais il semble que ca marche, non ?)

Merci encore !