Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet

invite769a1844 · 28/01/2008, 19h03

Bonjour,

Soient $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ , et l'ensemble des fonctions continues de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

Comment montrer que cet ensemble muni de la norme de la convergence en moyenne n'est pas complet? Je ne trouve pas de suite de Cauchy non convergente.

Merci pour votre aide.

invite2c3ff3cc · 28/01/2008, 20h02

Je pense que ça marche :

f_n(0) = 0
f_n(x) = 1, x > 1/n^2
f_n(x) = n^2 * x (linéaire pour raccorder les deux=

invite769a1844 · 28/01/2008, 20h32

Envoyé par ThSQ

Je pense que ça marche :

f_n(0) = 0
f_n(x) = 1, x > 1/n^2
f_n(x) = n^2 * x (linéaire pour raccorder les deux=

Bonjour ThSQ, $\text{[math]}$ ne tend pas en moyenne vers la fonction constante 1?

invite2c3ff3cc · 28/01/2008, 20h41

Envoyé par rhomuald

Bonjour ThSQ, $\text{[math]}$ ne tend pas en moyenne vers la fonction constante 1?

ah oui j'avais âs compris "convergence en moyenne".

Bon, celle-ci doit marcher :

f_n(x) = 0 pour x < 1/2 -1/n²
f_(x) = 1 pour x > 1/2 + 1/n²
+ recollage affine.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite769a1844 · 28/01/2008, 21h14

Envoyé par ThSQ

ah oui j'avais âs compris "convergence en moyenne".

Bon, celle-ci doit marcher :

f_n(x) = 0 pour x < 1/2 -1/n²
f_(x) = 1 pour x > 1/2 + 1/n²
+ recollage affine.

merci, je regarde ça.

Tu avais cru que je parlais de quel norme? Si il y a d'autres espaces vectoriels normés qui ne sont pas de Banach, je veux bien en connaître quelques uns

invite2c3ff3cc · 28/01/2008, 22h09

Envoyé par rhomuald

je veux bien en connaître quelques uns

(Q,||)

Tout evn muni d'une base dénombrable (comme IR[X]), c'est une conséquence jolie et directe de Baire

invite769a1844 · 28/01/2008, 22h09

j'ai vérifié que $\text{[math]}$ est bien de Cauchy en moyenne,

mais comment montrer qu'elle ne converge pas? Je ne vois pas vraiment comment on peut faire.

Je vois bien que $\text{[math]}$ tend simplement vers la fonction "triangle":

f(x)=0 pour x=0 ou 1,

f(x)=1 pour x=1/2,

plus du recollage affine pour le reste.

Mais je ne sais pas si la convergence simple peut nous aider pour déterminer si la suite converge en moyenne ou non.

invite769a1844 · 28/01/2008, 22h13

Envoyé par ThSQ

(Q,||)

Tout evn muni d'une base dénombrable (comme IR[X]), c'est une conséquence jolie et directe de Baire

ah oui je viens de trouver cet article dans la bwat'a baire : http://baire.homelinux.org/~twiki/bi...spacesDeBanach

D'ailleurs, je ne comprends pas cet argument: $\text{[math]}$ est un sous espace strict de IR[X], donc d'intérieur vide.

Très intéressant.

**invite35452583** · 28/01/2008, 22h38

Envoyé par rhomuald

Je vois bien que $\text{[math]}$ tend simplement vers la fonction "triangle":

f(x)=0 pour x=0 ou 1,

f(x)=1 pour x=1/2,

plus du recollage affine pour le reste.

Mais je ne sais pas si la convergence simple peut nous aider pour déterminer si la suite converge en moyenne ou non.

f_n est égale à 0 jusque 1/2-1/n² (extrémité qui tend en croissant vers 1/2) et égale à 1 de 1/2+1/n² (terme qui décroît en décroissant vers 1/2). f(1/2) est constant (mais ni =1, ni =0). La limite pour la convergence simple n'est donc pas celle que tu dis.
Montre que si f est la limite pour la convergence en moyenne alors pour x entre 0 et 1/2 elle vaut nécessairement une certaine constante (il suffit de trouver un "petit" intervalle où l'intégrale reste supérieur à une constante).

B(x,r) engendre l'ev en entier pour tout evn, x et r>0.
B(x,r)-x est dans l'ev engendré.
Il suffit de montrer que pour tout vecteur y, il existe $\text{[math]}$ dans B(0,r) ce qui est évident.
Ainsi, un sev strict d'un evn ne peut contenir une boule et est donc d'intérieur vide.

invite769a1844 · 28/01/2008, 22h49

Envoyé par homotopie

f_n est égale à 0 jusque 1/2-1/n² (extrémité qui tend en croissant vers 1/2) et égale à 1 de 1/2+1/n² (terme qui décroît en décroissant vers 1/2). f(1/2) est constant (mais ni =1, ni =0). La limite pour la convergence simple n'est donc pas celle que tu dis.

ah oui j'ai lu de traviole ce que m'as dit ThSQ (d'ailleurs ça me paraissait bizarre que ma suite ne converge pas) j'ai cru qu'on faisait le recollage affine de 0 ) 1/2 - 1/n² et de 1/2+1/n² à 1.

merci homotopie.

invite769a1844 · 29/01/2008, 00h15

Bon en fait j'avais encore mal interprété cette suite de fonctions.

On est bien d'accord, c'est

$\text{[math]}$

Bon sur le dessin ça paraît clair qu'elle est de Cauchy, j'ai un peu la flemme de lancer les calculs, pour tout n, on a bien $\text{[math]}$ .

Montre que si f est la limite pour la convergence en moyenne alors pour x entre 0 et 1/2 elle vaut nécessairement une certaine constante (il suffit de trouver un "petit" intervalle où l'intégrale reste supérieur à une constante).

la constante c'est 0 c'est bien ça?

invite769a1844 · 29/01/2008, 00h35

Enfin, si je comprends bien, il faut que je montre que

si $\text{[math]}$ est telle que $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ ?

invite769a1844 · 29/01/2008, 07h34

Bon je me lance, je ne sais pas si c'est bon:

En supposant que $\text{[math]}$ est limite en moyenne de $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

ie $\text{[math]}$ (continuité de $\text{[math]}$ )

donc $\text{[math]}$

ie $\text{[math]}$ ,

donc

$\text{[math]}$ .

Alors $\text{[math]}$ ne peut être continue, ce qui est contradictoire,
donc $\text{[math]}$ ne converge pas en moyenne.

**invite35452583** · 29/01/2008, 09h08

C'est tout bon

à part ces détails :

Envoyé par rhomuald

ie $\text{[math]}$ ,
...
donc $\text{[math]}$ ne converge pas en moyenne.

Un l.l de trop (je soupçonne la simple coquille) et à la fin je pense qu'il n'est pas de trop de présicer dans C([0,1],K).

invite769a1844 · 29/01/2008, 10h45

Envoyé par homotopie

C'est tout bon

à part ces détails :

Un l.l de trop (je soupçonne la simple coquille) et à la fin je pense qu'il n'est pas de trop de présicer dans C([0,1],K).

non c'était pas une simple coquille, mais je pensais que vu l'inégalité précédente, avec la double inégalité triangulaire, on a juste que $\text{[math]}$ tend simplement vers |f| ?

On sait pas si $\text{[math]}$ , non?

**invite35452583** · 29/01/2008, 11h09

Envoyé par rhomuald

On sait pas si $\text{[math]}$ , non?

Justement, si tu sais que lu_n-ul tend vers 0 c'est que ce que tu as dans tes l.l tend vers 0 et rien d'autre. l(-1+1/n)-(-1)l tend vers 0 donc -1+1/n tend vers -1 et non vers l-1l=1.
Je crois que j'ai été un peu vite avec mon "c'est tout bon", désolé. La ligne avec llf_nl-lfll est totalement inutile et la suite logique est ta conclusion qui est moins forte lf_nl=f_n tend vers lfl. f_n tend vers f l'implique. L'autre sens n'est pas vrai.

invite769a1844 · 29/01/2008, 11h14

Envoyé par homotopie

Justement, si tu sais que lu_n-ul tend vers 0 c'est que ce que tu as dans tes l.l tend vers 0 et rien d'autre. l(-1+1/n)-(-1)l tend vers 0 donc -1+1/n tend vers -1 et non vers l-1l=1.
Je crois que j'ai été un peu vite avec mon "c'est tout bon", désolé. La ligne avec llf_nl-lfll est totalement inutile et la suite logique est ta conclusion qui est moins forte lf_nl=f_n tend vers lfl. f_n tend vers f l'implique. L'autre sens n'est pas vrai.

ah ben oui c'est vrai que je suis bête

, bon maintenant c'est clair.

Merci homotopie.

Je passe à la démo du corollaire du lemme de Baire.

invite769a1844 · 29/01/2008, 11h28

Bon ok, j'ai compris ton argument pour le fait que sous-espace vectoriel strict est d'intérieur vide, donc pour terminer la preuve de http://baire.homelinux.org/~twiki/bi...spacesDeBanach, on en déduit donc du lemme de Baire que X est d'intérieur vide dans lui-même, donc X est vide, ce qui est absurde.

**invite35452583** · 29/01/2008, 13h29

Envoyé par rhomuald

Bon ok, j'ai compris ton argument pour le fait que sous-espace vectoriel strict est d'intérieur vide, donc pour terminer la preuve de http://baire.homelinux.org/~twiki/bi...spacesDeBanach, on en déduit donc du lemme de Baire que X est d'intérieur vide dans lui-même, donc X est vide, ce qui est absurde.

Et oui, comme ThSQ le dit une jolie conséquence directe du théorème de Baire.

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