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Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet



  1. #1
    rhomuald

    Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet


    ------

    Bonjour,

    Soient ou , et l'ensemble des fonctions continues de dans : .

    Comment montrer que cet ensemble muni de la norme de la convergence en moyenne n'est pas complet? Je ne trouve pas de suite de Cauchy non convergente.


    Merci pour votre aide.

    -----

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  3. #2
    ThSQ

    Re : Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet

    Je pense que ça marche :

    f_n(0) = 0
    f_n(x) = 1, x > 1/n^2
    f_n(x) = n^2 * x (linéaire pour raccorder les deux=

  4. #3
    rhomuald

    Re : Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet

    Citation Envoyé par ThSQ Voir le message
    Je pense que ça marche :

    f_n(0) = 0
    f_n(x) = 1, x > 1/n^2
    f_n(x) = n^2 * x (linéaire pour raccorder les deux=
    Bonjour ThSQ, ne tend pas en moyenne vers la fonction constante 1?

  5. #4
    ThSQ

    Re : Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    Bonjour ThSQ, ne tend pas en moyenne vers la fonction constante 1?
    ah oui j'avais âs compris "convergence en moyenne".

    Bon, celle-ci doit marcher :

    f_n(x) = 0 pour x < 1/2 -1/n²
    f_(x) = 1 pour x > 1/2 + 1/n²
    + recollage affine.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    rhomuald

    Re : Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet

    Citation Envoyé par ThSQ Voir le message
    ah oui j'avais âs compris "convergence en moyenne".

    Bon, celle-ci doit marcher :

    f_n(x) = 0 pour x < 1/2 -1/n²
    f_(x) = 1 pour x > 1/2 + 1/n²
    + recollage affine.
    merci, je regarde ça.

    Tu avais cru que je parlais de quel norme? Si il y a d'autres espaces vectoriels normés qui ne sont pas de Banach, je veux bien en connaître quelques uns

  8. #6
    ThSQ

    Re : Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    je veux bien en connaître quelques uns
    (Q,||)

    Tout evn muni d'une base dénombrable (comme IR[X]), c'est une conséquence jolie et directe de Baire

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  10. #7
    rhomuald

    Re : Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet

    j'ai vérifié que est bien de Cauchy en moyenne,

    mais comment montrer qu'elle ne converge pas? Je ne vois pas vraiment comment on peut faire.

    Je vois bien que tend simplement vers la fonction "triangle":

    f(x)=0 pour x=0 ou 1,

    f(x)=1 pour x=1/2,

    plus du recollage affine pour le reste.

    Mais je ne sais pas si la convergence simple peut nous aider pour déterminer si la suite converge en moyenne ou non.

  11. #8
    rhomuald

    Re : Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet

    Citation Envoyé par ThSQ Voir le message
    (Q,||)

    Tout evn muni d'une base dénombrable (comme IR[X]), c'est une conséquence jolie et directe de Baire
    ah oui je viens de trouver cet article dans la bwat'a baire : http://baire.homelinux.org/~twiki/bi...spacesDeBanach

    D'ailleurs, je ne comprends pas cet argument: est un sous espace strict de IR[X], donc d'intérieur vide.

    Très intéressant.
    Dernière modification par rhomuald ; 28/01/2008 à 21h17.

  12. #9
    homotopie

    Re : Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    Je vois bien que tend simplement vers la fonction "triangle":

    f(x)=0 pour x=0 ou 1,

    f(x)=1 pour x=1/2,

    plus du recollage affine pour le reste.

    Mais je ne sais pas si la convergence simple peut nous aider pour déterminer si la suite converge en moyenne ou non.
    fn est égale à 0 jusque 1/2-1/n² (extrémité qui tend en croissant vers 1/2) et égale à 1 de 1/2+1/n² (terme qui décroît en décroissant vers 1/2). f(1/2) est constant (mais ni =1, ni =0). La limite pour la convergence simple n'est donc pas celle que tu dis.
    Montre que si f est la limite pour la convergence en moyenne alors pour x entre 0 et 1/2 elle vaut nécessairement une certaine constante (il suffit de trouver un "petit" intervalle où l'intégrale reste supérieur à une constante).

    B(x,r) engendre l'ev en entier pour tout evn, x et r>0.
    B(x,r)-x est dans l'ev engendré.
    Il suffit de montrer que pour tout vecteur y, il existe dans B(0,r) ce qui est évident.
    Ainsi, un sev strict d'un evn ne peut contenir une boule et est donc d'intérieur vide.

  13. #10
    rhomuald

    Re : Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    fn est égale à 0 jusque 1/2-1/n² (extrémité qui tend en croissant vers 1/2) et égale à 1 de 1/2+1/n² (terme qui décroît en décroissant vers 1/2). f(1/2) est constant (mais ni =1, ni =0). La limite pour la convergence simple n'est donc pas celle que tu dis.
    ah oui j'ai lu de traviole ce que m'as dit ThSQ (d'ailleurs ça me paraissait bizarre que ma suite ne converge pas) j'ai cru qu'on faisait le recollage affine de 0 ) 1/2 - 1/n² et de 1/2+1/n² à 1.

    merci homotopie.

  14. #11
    rhomuald

    Re : Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet

    Bon en fait j'avais encore mal interprété cette suite de fonctions.

    On est bien d'accord, c'est



    Bon sur le dessin ça paraît clair qu'elle est de Cauchy, j'ai un peu la flemme de lancer les calculs, pour tout n, on a bien .

    Montre que si f est la limite pour la convergence en moyenne alors pour x entre 0 et 1/2 elle vaut nécessairement une certaine constante (il suffit de trouver un "petit" intervalle où l'intégrale reste supérieur à une constante).
    la constante c'est 0 c'est bien ça?

  15. #12
    rhomuald

    Re : Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet

    Enfin, si je comprends bien, il faut que je montre que
    si est telle que quand , alors sur ?
    Dernière modification par rhomuald ; 28/01/2008 à 23h38.

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  17. #13
    rhomuald

    Re : Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet

    Bon je me lance, je ne sais pas si c'est bon:

    En supposant que est limite en moyenne de



    ie (continuité de )

    donc

    ie ,

    donc

    .


    Alors ne peut être continue, ce qui est contradictoire,
    donc ne converge pas en moyenne.

  18. #14
    homotopie

    Re : Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet

    C'est tout bon à part ces détails :
    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    ie ,
    ...
    donc ne converge pas en moyenne.
    Un l.l de trop (je soupçonne la simple coquille) et à la fin je pense qu'il n'est pas de trop de présicer dans C([0,1],K).

  19. #15
    rhomuald

    Re : Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    C'est tout bon à part ces détails :

    Un l.l de trop (je soupçonne la simple coquille) et à la fin je pense qu'il n'est pas de trop de présicer dans C([0,1],K).
    non c'était pas une simple coquille, mais je pensais que vu l'inégalité précédente, avec la double inégalité triangulaire, on a juste que tend simplement vers |f| ?

    On sait pas si , non?

  20. #16
    homotopie

    Re : Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message

    On sait pas si , non?
    Justement, si tu sais que lun-ul tend vers 0 c'est que ce que tu as dans tes l.l tend vers 0 et rien d'autre. l(-1+1/n)-(-1)l tend vers 0 donc -1+1/n tend vers -1 et non vers l-1l=1.
    Je crois que j'ai été un peu vite avec mon "c'est tout bon", désolé. La ligne avec llfnl-lfll est totalement inutile et la suite logique est ta conclusion qui est moins forte lfnl=fn tend vers lfl. fn tend vers f l'implique. L'autre sens n'est pas vrai.

  21. #17
    rhomuald

    Re : Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Justement, si tu sais que lun-ul tend vers 0 c'est que ce que tu as dans tes l.l tend vers 0 et rien d'autre. l(-1+1/n)-(-1)l tend vers 0 donc -1+1/n tend vers -1 et non vers l-1l=1.
    Je crois que j'ai été un peu vite avec mon "c'est tout bon", désolé. La ligne avec llfnl-lfll est totalement inutile et la suite logique est ta conclusion qui est moins forte lfnl=fn tend vers lfl. fn tend vers f l'implique. L'autre sens n'est pas vrai.
    ah ben oui c'est vrai que je suis bête , bon maintenant c'est clair.

    Merci homotopie.

    Je passe à la démo du corollaire du lemme de Baire.

  22. #18
    rhomuald

    Re : Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet

    Bon ok, j'ai compris ton argument pour le fait que sous-espace vectoriel strict est d'intérieur vide, donc pour terminer la preuve de http://baire.homelinux.org/~twiki/bi...spacesDeBanach, on en déduit donc du lemme de Baire que X est d'intérieur vide dans lui-même, donc X est vide, ce qui est absurde.

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  24. #19
    homotopie

    Re : Un espace vectoriel normé qui n'est pas complet

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    Bon ok, j'ai compris ton argument pour le fait que sous-espace vectoriel strict est d'intérieur vide, donc pour terminer la preuve de http://baire.homelinux.org/~twiki/bi...spacesDeBanach, on en déduit donc du lemme de Baire que X est d'intérieur vide dans lui-même, donc X est vide, ce qui est absurde.
    Et oui, comme ThSQ le dit une jolie conséquence directe du théorème de Baire.

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