Norme du produit vectoriel

[herman]

Bonjour,

J'aimerai savoir pourquoi nous mettons un sinus pour la norme du produit vectoriel lorsque l'on veut le calculer.

Merci d'avance.
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[Jeanpaul]

Parce que c'est la définition ! Cela représente deux fois l'aire du triangle délimité par les vecteurs.

[Ledescat]

Bonjour.
Déjà on sait que le produit scalaire utilise le cosinus.
Et je ne me souviens plus exactement la manière de s'y prendre, mais en calculant une expression (du genre norme du produit vectoriel+produit scalaire) on en arrive à montrer qu'un certain coefficient k pour le produit vectoriel vérifie k²+cos²(teta)=1
D'où le fait qu'on en déduise le sinus.

[invite43219988]

A mon avis, c'est plutôt dû au fait que le produit vectoriel de u par v est l'aire du parallélogramme engendré par u et v, c'est à dire deux fois l'aire du triangle engendré par u et v, c'est à dire :
si on prend u= base du triangle, alors v*sin(u,v)= hauteur du triangle et on a bien l'aire en question.
Si v= base du triangle, alors u*sin(u,v)=hauteur du triangle et on a bien l'aire en question...
Ca fonctionne dans tous les cas.
Les angles que j'ai écrits ne sont pas orientés...

[A voir en vidéo sur Futura]

[herman]

Je vous remercie, me voilà éclairé ^^.

[Ledescat]

Ce qu'il voulait savoir à mon avis, c'est pas la signification du sinus (c'est l'aire évidemment), mais pourquoi en faisant des "gammas" et en prenant la norme de ce vecteur obtenu par un calcul comme cela, un sinus apparaît.