norme matricielle

invitecbade190 · 26/03/2009, 21h49

Bonjour à tous : :happy3:
Soit $|.|$ une norme sur $\mathbb{R}^{n}$ .
On sait que : $\overline{B(0,1)}$ est compact dans $\mathbb{R}^{n}$ .
Soit $A \in \mathcal{M}_{n}( \mathbb{R}^{n} )$ :
Soit $T$ la transformation linéaire associé à $A$ telle que :
$\begin{eqnarray*} T : \mathbb{R}^{n} & \to & \mathbb{R}^{n} \\ x & \mapsto & A.x \end{eqnarray*}$
$T$ est continue sur $\mathbb{R}^{n}$ .
Si on se restreint sur le compact : $\overline{B(0,1)}$ : $|T(x)|$ atteint sa borne superieure sur $\overline{B(0,1)}$ :
Par suite, on pose $||A||$ cette borne telle que :
$||A|| = \max \{ |Ax| ~~ x \in \overline{B(0,1)} \}$
C'est une norme qui s'appelle norme uniforme sur $\mathbb{R}^{ n \times n}$ !
Question :
Si $|x| = \sqrt{x_{1}^{2} + ... + x_{n}^{2}}$ est la norme euclidienne, montrer que :
$||A|| = \sqrt{\lambda (~^{t}A.A)}$
où : $\lambda (~^{t}A.A)$ est le maximum des velurs propres de la matrice : $~^{t}A.A$

Aidez moi pour cette exo ! et merci infiniment ! :happy3:

invitecbade190 · 26/03/2009, 22h13

Salut à tous :

Voici ce que je fais :
$|T(x)|^{2} = |Ax|^{2} = (Ax|Ax) = ^t A (Ax|x) = (^t A Ax|x) \leq ||^t A A|| |x| |x| = ||^t A A|| |x|^{2}$
Je voudrai savoir porquoi :
$||^t A A|| \leq \lambda(^t AA)$

MErci d'avance !

invite57a1e779 · 26/03/2009, 23h10

Bonjour chentouf,

La matrice $^tA.A$ est symétrique réelle, donc diagonalisable en base orthonormée.

Il te suffit d'évaluer $|x|^2$ et $|Ax|^2$ dans une base orthonormée de vecteurs propres de $^tA.A$ .

invitecbade190 · 27/03/2009, 04h16

Bonjour "gb" :

Merci pour ces precisions "gb" !
Alors :
$^t A.A$ est symetrique, donc, diagonalisable :
Celà signifie qu'il existe, une base orthonormée de vecteurs propres de $^t A. A$ qu'on note par exemple : $( u_{1},...,u_{n} )$ et on a : $^t A.A = P D ^t P$ avec : $D = \mathrm{diag}(\lambda_{1} , ... , \lambda_{n})$
Par conséquent :
$|Ax|^{2} = (Ax|Ax) = ^t A (Ax|x) = (^t A.Ax|x) = \displaystyle \sum_{1 \leq i,j \leq n} x_{i} x_{j} (^t A.A.u_{i}|u_{j}) = \displaystyle \sum_{1 \leq i,j \leq n} x_{i} x_{j} ( \lambda_{i}.u_{i}|u_{j}) = \displaystyle \sum_{1 \leq i,j \leq n} x_{i} x_{j} \lambda_{i} ( u_{i}|u_{j}) = \displaystyle \sum_{1 \leq i \leq n} x_{i}^{2} \lambda_{i}$
et
$|x|^{2} = (x|x) = \displaystyle \sum_{1 \leq i \leq n} x_{i}^{2}$
Voilà ! j'espère qe c'est correcte ça "gb" ! et je ne sais pas quoi faire par la suite !
Merci d'avance de votre aide !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitecbade190 · 27/03/2009, 04h42

"gb" :

Je pense qu'il faut proceder de la manière suivante :
$\forall x \in \overline{B(0,1)}$ :
$|Ax|^{2} = (^t A.Ax|x) = \displaystyle \sum_{1 \leq i \leq n} x_{i}^{2} \lambda_{i} \leq \displaystyle \max_{1 \leq i \leq n} \lambda_{i} \displaystyle \sum_{1 \leq i \leq n} x_{i}^{2}$
$\Longrightarrow$
$\frac{|Ax|}{|x|} \leq \displaystyle \max_{1 \leq i \leq n} \lambda_{i}$
$\Longrightarrow$
$||A|| \leq \max_{1 \leq i \leq n} \lambda_{i}$
Mais je ne vois pas comment montrer qu'il y'a égalité :
i.e :
$||A|| =\max_{1 \leq i \leq n} \lambda_{i}$
Merci d'avance de votre aide !

invitecbade190 · 27/03/2009, 05h16

Ah d'accord :

Par exemple :
Pour $x = u_{i}$ avec : $u_{i}$ est associé au valeur propre : $\displaystyle \max_{1 \leq i \leq n} \lambda_{i}$ .
$|x|^{2} = 1$
et
$|T(x)|^{2} = \displaystyle \max_{1 \leq i \leq n} \lambda_{i}$
Et donc :
$\frac{|T(x)|}{|x|} = \frac{|T(u_{i})|}{|u_{i}|} = \sqrt{ \displaystyle \max_{1 \leq i \leq n} \lambda_{i}} = ||A||$
CQFD !

Salutation à tous !

invitea41c27c1 · 27/03/2009, 07h39

Je vois que tu t'en ai sorti.
Mais au passage

Envoyé par chentouf

Je voudrai savoir porquoi :
$||^t A A|| \leq \lambda(^t AA)$

cette inegalite est dans le mauvais sens... mais cela n'a pas l'air de t'avoir induit en erreur.

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