norme matricielle

[invitef7cb9c5c]

bonsoir
pourriez-vous m'expliquer pourquoi
llAll₂<=(llAll₁llAll_infini)^1/2
pour A élément de M_n(C)
fifrelette
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[Seirios]

Bonjour,

On a .

[invitef7cb9c5c]

bonjour
merci c'est trés clair
pour montrer que llAxll₂=llA*xll₂ pour tout x dans Cⁿ si et seulement si A est normale
il faut utiliser le même genre d'idées , je suppose?
fifrelette

[invite9617f995]

Bonjour,

Ici Ax est un élément de Cⁿ donc la norme 2 n'est plus celle sur les matrices mais celle sur les vecteurs.
Notamment on a pour tout y de Cⁿ, ||y||₂=<y,y>, où <,> est le produit scalaire canonique.

Ensuite en utilisant les propriétés de l'adjoint liées au produit scalaire, tu devrais pouvoir conclure.

Silk

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

[Supprimé]

[Seirios]

Une petite indication si besoin (je ne sais pas si c'est la même idée que silk78) :

 Cliquez pour afficher

Montrer que pour tout , .

[invite9617f995]

Oui c'est bien la même idée.
Par contre, j'ai évidemment oublié un carré dans la définition de la norme, on a : ||y||₂²=<y,y>

[invitef7cb9c5c]

bonsoir
j'ai du mal à trouver la solution

en attendant j'ai essayé de montrer que la méthode de Jacobi pour résoudre le système ax=b converge pour A élément de Mn(R) triangulaire inférieure inversible et que la méthode converge en un nombre fini d'itération.

En effet, le matrice d'itération de cette méthode est
D^-1 F est la matrice nulle donc son rayon spectrale est nul et donc bien strictement inférieur à 1
(D diagonale et F telle que A= D-F) donc la méthode converge en une seule itération puisque ( D^-1 F)^k=0
pour K=1
est-ce que vous êtes d'accord?
fifrelette

[Tiky]

Tu sais que et .

Or que peux-tu dire des matrices et si l'endomorphisme associé est normal sachant que A est la matrice de cet endomorphisme dans une certaine base orthonormale ?

[Tiky]

Au passage, en lisant ton poste la première fois, je pensais que tu voulais démontrer cette inégalité sur les normes induites. J'étais parvenu à démontrer l'inégalité pour les matrices normales uniquement.

Si tu veux la démonstration :

 Cliquez pour afficher

Soit la matrice dans une base orthonormale d'un endomorphisme normal.

On veut montrer que où

On sait que où désigne le rayon spectral. Cette égalité se démontre principalement à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwartz et du fait que .

Comme et sont normaux et commutent, ils sont diagonalisable simultanément dans une base orthonormée.
On sait de plus que les valeurs propres de sont les conjuguées des valeurs propres de .
On en déduit que les valeurs propres de sont les carrés des modules des valeurs propres de . Et donc .

Or et

Je n'ai pas cherché de contre-exemple dans le cas général.

[invitef7cb9c5c]

bonjour,
dans ta demonstration Tiky je ne comprends pas bien pourquoi le rayon spectral de A*A est égal au carré du rayon spectral de A?
dans l'ennoncé , il n'est pas dit que la matrice A est normale , elle est juste dans M_n(C)
sinon utilliser les rayons spectraux dans la démonstration me semblerait plus correspondre à ce qui est dans mon cours
merci
fifrelette

[invitef7cb9c5c]

sinon je crois que j'ai compris si A est normale
A*A=AA*
alors <x,A*Ax>=<x,AA*x> donc on a bien <Ax,Ax>=<A*x,A*x>
on en déduit llAxll₂=llA*xll₂
j'espère que c'est bien ça
fifrelette

[Tiky]

Oui c'est bien ça.

Pour l'autre démonstration, il ne s'agit pas du même exercice. C'est comme ça que j'avais interprété le tiens puisque tu n'avais pas précisé les normes matricielles en jeu.

Pour l'égalité des rayons spectral, j'utilise d'abord le fait que le déterminant est invariant par transposition de la matrice. On a donc :

On en déduit que les valeurs propres de sont les conjugués des valeurs propres de et qu'elles ont même multiplicité.
La seule chose que je n'ai pas démontré, c'est que . Je pense que c'est juste. En utilisant le théorème du rang, on en déduit que les espaces propres de et ont même dimension (attention ils ne sont pas identiques).

On a et où est la matrice d'une diagonalisation simultanée de et . Donc .
Les valeurs propres de sont donc les carrés des modules des valeurs propres de . Or par définition . Le reste est évident.

[invitef7cb9c5c]

ok
je crois que j'ai compris
mais je dois faire des erreurs de calcul parce que j'ai essayer avec un exemple et je n'obtenais pas l'égalites du rayon spectral de A*A et du carré du rayon spectral de A
fifrelette

[invitef7cb9c5c]

j'ai oublié
merci Tiki
fifrelette

[Tiky]

En fait on n'a pas besoin de . Une matrice est diagonalisable si et seulement la dimension de ses espaces propres est égale à la multiplicité des valeurs propres dans le polynôme caractéristique.

Toutefois il y a bien une faiblesse dans la fin de ma démonstration. Les valeurs propres de ne sont peut-être pas les carrés des modules des valeurs propres de . En effet, on ne sait pas si dans les matrices et , les valeurs propres sont présentées dans le même ordre. Cependant, on a évidemment . Donc .

Si la matrice est hermitienne, on a égalité.

[invitef7cb9c5c]

Avec les exemples j'en étais arrivé à la même inégalité
merci Tiki pour cette précision
Fifrelette

[invitef7cb9c5c]

bonjour, montrer que la méthode de Jacobi pour résoudre le système ax=b converge pour A élément de Mn(R) triangulaire inférieure inversible et que la méthode converge en un nombre fini d'itération.

En effet, le matrice d'itération de cette méthode est
D-1 F est la matrice nulle donc son rayon spectrale est nul et donc bien strictement inférieur à 1
(D diagonale et F telle que A= D-F) donc la méthode converge en une seule itération puisque ( D-1 F)k=0
pour K=1
est-ce que vous êtes d'accord?
fifrelette