norme matricielle
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norme matricielle



  1. #1
    invitef7cb9c5c

    norme matricielle


    ------

    bonsoir
    pourriez-vous m'expliquer pourquoi
    llAll2<=(llAll1llAllinfini)1/2
    pour A élément de Mn(C)
    fifrelette

    -----

  2. #2
    Seirios

    Re : norme matricielle

    Bonjour,

    On a .
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  3. #3
    invitef7cb9c5c

    Re : norme matricielle

    bonjour
    merci c'est trés clair
    pour montrer que llAxll2=llA*xll2 pour tout x dans Cn si et seulement si A est normale
    il faut utiliser le même genre d'idées , je suppose?
    fifrelette

  4. #4
    silk78

    Re : norme matricielle

    Bonjour,

    Ici Ax est un élément de Cn donc la norme 2 n'est plus celle sur les matrices mais celle sur les vecteurs.
    Notamment on a pour tout y de Cn, ||y||2=<y,y>, où <,> est le produit scalaire canonique.

    Ensuite en utilisant les propriétés de l'adjoint liées au produit scalaire, tu devrais pouvoir conclure.

    Silk

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Seirios

    Re : norme matricielle

    [Supprimé]
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  7. #6
    Seirios

    Re : norme matricielle

    Une petite indication si besoin (je ne sais pas si c'est la même idée que silk78) :

     Cliquez pour afficher
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  8. #7
    silk78

    Re : norme matricielle

    Oui c'est bien la même idée.
    Par contre, j'ai évidemment oublié un carré dans la définition de la norme, on a : ||y||2²=<y,y>

  9. #8
    invitef7cb9c5c

    Re : norme matricielle

    bonsoir
    j'ai du mal à trouver la solution

    en attendant j'ai essayé de montrer que la méthode de Jacobi pour résoudre le système ax=b converge pour A élément de Mn(R) triangulaire inférieure inversible et que la méthode converge en un nombre fini d'itération.

    En effet, le matrice d'itération de cette méthode est
    D-1 F est la matrice nulle donc son rayon spectrale est nul et donc bien strictement inférieur à 1
    (D diagonale et F telle que A= D-F) donc la méthode converge en une seule itération puisque ( D-1 F)k=0
    pour K=1
    est-ce que vous êtes d'accord?
    fifrelette

  10. #9
    Tiky

    Re : norme matricielle

    Tu sais que et .

    Or que peux-tu dire des matrices et si l'endomorphisme associé est normal sachant que A est la matrice de cet endomorphisme dans une certaine base orthonormale ?

  11. #10
    Tiky

    Re : norme matricielle

    Au passage, en lisant ton poste la première fois, je pensais que tu voulais démontrer cette inégalité sur les normes induites. J'étais parvenu à démontrer l'inégalité pour les matrices normales uniquement.

    Si tu veux la démonstration :
     Cliquez pour afficher


    Je n'ai pas cherché de contre-exemple dans le cas général.

  12. #11
    invitef7cb9c5c

    Re : norme matricielle

    bonjour,
    dans ta demonstration Tiky je ne comprends pas bien pourquoi le rayon spectral de A*A est égal au carré du rayon spectral de A?
    dans l'ennoncé , il n'est pas dit que la matrice A est normale , elle est juste dans Mn(C)
    sinon utilliser les rayons spectraux dans la démonstration me semblerait plus correspondre à ce qui est dans mon cours
    merci
    fifrelette

  13. #12
    invitef7cb9c5c

    Re : norme matricielle

    sinon je crois que j'ai compris si A est normale
    A*A=AA*
    alors <x,A*Ax>=<x,AA*x> donc on a bien <Ax,Ax>=<A*x,A*x>
    on en déduit llAxll2=llA*xll2
    j'espère que c'est bien ça
    fifrelette

  14. #13
    Tiky

    Re : norme matricielle

    Oui c'est bien ça.

    Pour l'autre démonstration, il ne s'agit pas du même exercice. C'est comme ça que j'avais interprété le tiens puisque tu n'avais pas précisé les normes matricielles en jeu.

    Pour l'égalité des rayons spectral, j'utilise d'abord le fait que le déterminant est invariant par transposition de la matrice. On a donc :

    On en déduit que les valeurs propres de sont les conjugués des valeurs propres de et qu'elles ont même multiplicité.
    La seule chose que je n'ai pas démontré, c'est que . Je pense que c'est juste. En utilisant le théorème du rang, on en déduit que les espaces propres de et ont même dimension (attention ils ne sont pas identiques).

    On a et est la matrice d'une diagonalisation simultanée de et . Donc .
    Les valeurs propres de sont donc les carrés des modules des valeurs propres de . Or par définition . Le reste est évident.

  15. #14
    invitef7cb9c5c

    Re : norme matricielle

    ok
    je crois que j'ai compris
    mais je dois faire des erreurs de calcul parce que j'ai essayer avec un exemple et je n'obtenais pas l'égalites du rayon spectral de A*A et du carré du rayon spectral de A
    fifrelette

  16. #15
    invitef7cb9c5c

    Re : norme matricielle

    j'ai oublié
    merci Tiki
    fifrelette

  17. #16
    Tiky

    Re : norme matricielle

    En fait on n'a pas besoin de . Une matrice est diagonalisable si et seulement la dimension de ses espaces propres est égale à la multiplicité des valeurs propres dans le polynôme caractéristique.

    Toutefois il y a bien une faiblesse dans la fin de ma démonstration. Les valeurs propres de ne sont peut-être pas les carrés des modules des valeurs propres de . En effet, on ne sait pas si dans les matrices et , les valeurs propres sont présentées dans le même ordre. Cependant, on a évidemment . Donc .

    Si la matrice est hermitienne, on a égalité.
    Dernière modification par Tiky ; 19/06/2011 à 15h29.

  18. #17
    invitef7cb9c5c

    Re : norme matricielle

    Avec les exemples j'en étais arrivé à la même inégalité
    merci Tiki pour cette précision
    Fifrelette

  19. #18
    invitef7cb9c5c

    résolution de système Ax=b

    bonjour, montrer que la méthode de Jacobi pour résoudre le système ax=b converge pour A élément de Mn(R) triangulaire inférieure inversible et que la méthode converge en un nombre fini d'itération.

    En effet, le matrice d'itération de cette méthode est
    D-1 F est la matrice nulle donc son rayon spectrale est nul et donc bien strictement inférieur à 1
    (D diagonale et F telle que A= D-F) donc la méthode converge en une seule itération puisque ( D-1 F)k=0
    pour K=1
    est-ce que vous êtes d'accord?
    fifrelette

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