Pb matricielle

[invite72c0e0c8]

Bonsoir j'ai un exercice de maths où je planche depuis quelques jours et je n'arrive pas a trouver la solution...
Je vous expose l'exercice.

Soit V l'espace vectoriel des matrices carrées 2x2 sur R;
On considère l'endomorphisme T de V défini par par T(A)= MA pour tout A appartenant a V. ou M= (a,b,c,d) est une matrice fixée.

1° Soit B la famille de matrice E1=(1,0,0,0), E2= (0,1,0,0), E3=(0,0,1,0) et E4 (0,0,0,1).
Montrer que B est une base de V

2° Trouver la representation de T relative à la base B et calculer son determinant.

3° Comparer le déterminant de T et le determinant de M. En déduire que T est bijective si et seulement si M est inversible.


Voilà l'énoncé.

Le prof nous a dis qu'on devait trouvé une matrice 4x4 donc est que B = (E1,E2,E3,E4) ?
Mais je comprend pas comment montré que B est une base de V.

J'espère que quelqu'un pourra m'aider, je ne demande pas une correction mais juste des explications afin de pouvoir avancer dans cet exo.
Et je suis relativement nul en maths...
Merci d'avance
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Mais je comprend pas comment montré que B est une base de V.

Il suffit de prouver que toute matrice A est combinaison linéaire, de façon unique, des matrices E1, E2, E3, E4.

[invite72c0e0c8]

Merci de ta réponse God's Breath mais je suis désolé mais je ne comprend pas comment le montrer.

Tout d'abord B est elle une matrice 2x2 ou 4x4 dans cet exercice ?

Suffit t'il de dire que B = E1+E2+E3+E4 soit (1,1,1,1)
et comme on obtient une matrice 2x2 elle appartient a l'espace vectoriel V ?

Où alors on arrive a une matrice 4x4 en mettant en ligne les matrices E ? Et on obtient une matrice identité mais on peut plus lui appliqué M de taille 2x2.

Donc je ne comprend pas pourquoi utilisé A pour montrer que B est une base de V.

Désolé de demander autant mais je ne comprend pas cet exo, j'ai essayé beaucoup de piste sans aucun résultat :'(.