Bonsoir, j'ai quelques soucis avec les expressions suivantes:
1) On a vu que
Du coup, j'ai de la peine à évaluer. Cest donc un tenseur prenant 2 arguments?
2) Quelqu'on pourrait me donner un indice pour montrer que
Merci
Bonjour,
Pour la 2) il faut regarder ,à
@+
"Dans la vie, rien n'est à craindre, tout est à comprendre." Marie Curie
Que sont a, b, et c?Envoyé par zaskzask
Bonsoir, j'ai quelques soucis avec les expressions suivantes:
1) On a vu que
Du coup, j'ai de la peine à évaluer
A priori j'ai l'impression que tu cherche à définir une fleche de
Ce sont des vecteursQue sont a, b, et c?
Au fait, c'est peut être ça mais je sais ce que représente le produit tensoriel de 2 espaces.A priori j'ai l'impression que tu cherche à définir une fleche de
Du coup je comprends pas trop ce que signifie <a,b>, c'est un produit scalaire du coup?
oui, oui, c'est un produit scalaire (désolé, pour la confusion, je pense qu'on note aussi le crochet de dualité comme ça
Ok, ok, qu'est ce que tu appelles évaluer
En fait (et surtout vu comment tu "évalues"
Mais pourquoi surtout tu veux l'evaleur sur qqch?
Au fait, je voudrais juste avoir une expression plus explicite pour mieux me représenter ce que le produit tensoriel signifie. En particulier je voulais savoir comment exprimer explicitement le produit tensoriel de a, b, c car on utilise le produit tensoriel de plus de 2 vecteurs souvent pour exprimer les tenseur d'ordre 3 ou plus avec ses composantes.
Je comprends pas trop ce que tu veux dire par explicite en fait.
Le produit tensoriel de deux vecteurs, c'est... le produit tensoriel de deux vecteur, tu peux ensuite faire certaines identifications, par exemple identifier un tenseur (1,1) avec un endomorphisme, un tenseur (0,2) avec une forme bilniéaire etc... ici ce qui rend la chose plus flou, c'est que tu utilises explicitement un isomorphisme entre E et son dual, donc tenseur (1,1), (2,0) ou (0,2) c'est la meme chose, tu as des isomorphismes qui te permettent de passer de l'un à l'autre.
Quand tu prend un tenseur de poids 3, ce se complique encore si tu veux identifier, puisque, vu l'isomorphisme tu vas avoir tous les cas depuis (3,0), jusque (0,3), ca se compliue encore parce que meme l'identification pour un (p,q) donné n'est plus tout à fait univoque.
Par exemple un tenseur (2,1) tu peux le voir End(E) tensorisé avec E, du coup avec la currification ca fait beaucoup de manière de voir les choses, tu peux le voir comme une application du dual de E dans l'espace des endomorphisme de E, mais aussi des choses plu retorses comme par exemple une application de E dans le produit tensoriel
Il me semble qu'il est bon de rappeler que le produit tensoriel est une construction purement algébrique et formelle.
Le produit tensoriel
C'est essentiellement cela le produit tensoriel.
Un peut comme un couple (a,b) est un symbole qui verifie (a+c,b+d)=(a,b)+(c,d) et des relations analogues (note la difference au passage).
Les deux sont tout aussi explicites et c'est vrament ça le coeur du sujet (c'est une reformulation avec les mains de leurs proriétés universelles).
Une fois que tu auras cette vision là, qui est, je pense la plus explicite possible du produit tensoriel, tu n'auras aucun mal à faire les identifications loisibles suivant le contexte ou tu travaille.
Dernière modification par invite76543456789 ; 07/03/2013 à 15h06.
c'est ça la définition exacte et complète du produit tensoriel?Le produit tensoriel
J'ai fais quelque recherches sur le net, et il me semble qu'il y a peu de rapport entre la théorie tensorielle utilisée par les mathématiciens et la théorie tensorielle utilisée dans la mécanique des milieux continus (en tout cas celle qu'on m'enseigne). Déjà au niveau de la base duale: j'ai l'impression que rigoureusement la base duale est dans l'espace des fonctions
j'ai l'impression d'être un peu rude dans mon message mais je suis en fait très reconnaissant de vos réponses.
Je vais me lancer dans une longue digression qui je l'espere sera eclairante sur tout ca.
C'est vraiment tres tres proche d'etre cela oui. Il faut la rendre un peu plus rigoureuse, mais il est totalement acceptable de prendre cela comme définition sans plus de précision.
C'est d'ailleurs ce qu'on a du te faire pour le couple, on a jamais du te définir proprement et explicitement ce qu'etait un couple (a,b) avant que l'utilise la premiere fois (donc en premiere ou qqch comme ca), on t'a dit qu'un couple ca se notait (a,b) que (a,b)+(b,c)=(a+b,c+d) etc etc...
Et à l'époque tu t'en etais contenté.
Maintenant pour le produit tensoriel on t'a appris à vouloir définir tes objets donc c'est pas tres raisonnable de juste le définir comme un symbole verifiant
D'ailleurs, pour pousser encore plus loin l'analogie, sais tu quelle est la définition rigoureuse et explicite du couple (a,b)?(reflechis y avant de lire la suite).
Le couple (a,b), c'est par définition l'ensemble {a,{a,b}}... Bien sur quand on pense à un couple (a,b) on y pense jamais (sauf le temps de donner la définition aux etudiants) comme à l'ensemble {a,{a,b}}, on le pense véritablement comme un SYMBOLE (a,b) vérifiant les propriétés que tu connais.
Pour la produit tensoriel la situation est tout à fait analogue, je pourrais te donner une définition explicite du symbole
Alors que faut il retenir? Que le produit tensoriel
Alors tu vas me dire, tout ca c'est bien joli mais ca n'a pas grand rapport avec les tenseurs que l'on voit en mecanique
J'ai fais quelque recherches sur le net, et il me semble qu'il y a peu de rapport entre la théorie tensorielle utilisée par les mathématiciens et la théorie tensorielle utilisée dans la mécanique des milieux continus (en tout cas celle qu'on m'enseigne).
Et je te dirai que tu as en partie raison (mais fondamentalement tort).
En fait la construction algébrique que je viens de t'esquisser est beaucoup beaucoup plus generale, mais il me semble qu'il est essentiel de l'avoir saisie pour comprendre ce qu'est, au fond, un produit tensoriel et comment on le manipule et comment ca fonctionne.
Maintenant, en mecanique, on utilise qu'un tout tout petit bout de la puissance de la construction tensorielle.
Moralement on ne regarde qu'une seule chose (ou presque), ce sont des produits tensoriels de E n fois avec lui meme, de E^*, m fois avec lui meme, et leurs "mélanges" c'est a dire le produit tensoriel de n copies de E avec m copies de E^* (les tenseurs de type (n,m))
Et là ce que je t'ai dit fonctionne à plein, qu'est ce que c'est qu'un element de
qu'est ce que c'est qu'un element de
Alors tu vas me dire, oui mais alors pourquoi on dit que les tenseur de type (1,1) ce sont des endomorphismes de E, et plus generalement pourquoi on dit que les tenseurs (n,m) sont des applications n+m linéaire dont les n premiers arguments sont des forme linéaire et les m derniers des vecteurs.
Je vais te répondre que c'est une manière qu'on a de les interpreter.
Prend l'exemple d'une matrice, une matrice c'"est" un endomorphisme (modulo le choix d'une base). Mais une matrice à la base, c'est juste un bête tableau de nombres, rien à voir avec une endomorphisme a priori. Seulement on peut interpreter une matrice comme un endomorphisme en définition une action d'une matrice sur un vecteur. Et ca nous permet d'identifier les deux objets.
Pour les tenseurs (1,1) c'est exactement la meme chose, un tenseur (1,1) c'est juste une combinaison de
Alors comment fait on?
Et bien c'est simple on associe au tenseur (au symbole)
Note que si on regarde ce que nous donne cette association pour
Ca ne serait pas du tout pareil si on avait pris un couple
Si tu as bien compris cela alors tu n'auras aucun mal à te representer toutes les identifications naturelles que l'on peut faire pour
Ca c'est vraiment un probleme de commodité et de notations, et de switch entre base et base dual, les coordonnées avec un indice en haut si je me rappelle bien represente les coordonées d'un vecteur dans une base, celle avec des indices en haut les coordonées du vecteur dual (c'est a dire le vecteur identifé à une forme linéaire via le produit scalaire) dans la base duale (ou l'inverse je ne sais jamais quelle est la convention entre haut et bas).Déjà au niveau de la base duale: j'ai l'impression que rigoureusement la base duale est dans l'espace des fonctions
Y a vraiment rien de compliqué la derrière, c'est juste un jeu d'ecriture.
No souci, je ne t'ai pas trouvé rude, j'espere que ma réponse te plairaj'ai l'impression d'être un peu rude dans mon message mais je suis en fait très reconnaissant de vos réponses.
Je te conseille de prendre ton temps pour la digérer, mais il y a vraiment rien de fondamentalement difficile dans tout ce que j'ai dit.
Dernière modification par invite76543456789 ; 08/03/2013 à 00h30.
Bonjour
N'est ce pas (a,b)+(b,c)=(a+b,b+c) ?(a,b)+(b,c)=(a+b,c+d)
Heu si si bien sur!
Ce que je voulais dire c'est (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).
Merci d'avoir corrigé.
Re!
Je suis tombé par hasard sur cette page et je trouve qu'elle est tres bien faite (bien que moche), et donne une excellente approche à la notion de produit tensoriel, "avec les mains" (avec les mains mais tout y est au final), et recoupe et etaye (en mille fois mieux) ce que je disais plus haut
Dernière modification par invite76543456789 ; 13/03/2013 à 13h59.
tout n'y est pas. La façon la plus propre de définir le produit tensoriel de deux e.v. E et F est comme solution d'un problème universel. Bon, ce n'est qu'une autre façon d'exprimer les choses, avec un joli diagramme au lieu de mots, mais en tout cas il vaut le coup de la connaître.
Elle y est la propriété universelle et je dirai meme qu'il n'y a que ca!
Tout le laius du bonhomme c'est justement pour amener de manière douce la propriété universelle.
Elle est meme citée explicitement sous forme d'un lemme
Let U and V be vector spaces, and let b:UxV-->X be a bilinear map from UxV to a vector space X. Suppose that for every bilinear map f defined on UxV there is a unique linear map c defined on X such that f=cb. Then there is an isomorphism i:X-->U@V such that u@v=ib(u,v) for every (u,v) in U@V.
ah oui. J'avoue que j'ai eu la flemme de lire ce gros pavé de texte. Je n 'ai pas vu de diagramme comme on les aime et j'ai déduit le reste. Mea culpa, mea maxima culpa.
Bonjour zaskzask
Ayant eu l'occasion de lire un bouquin de MMC (de P. Le Tallec) pour ma culture, J'ai aussi eu la meme question (ta permiere)
Si tu as une base E1 ...En, tu peux definir une base duale e1 ... en par ei(Ej) =
Si tu as une metrique et donc un produit scalaire . alors
+ si Ei est orthonormale, alors ei(Ej) = Ei . Ej
+ Si Ei est orthonormee, alors ei(Ej) = Ei . Ej / ||Ej||^2
Donc ecrire
++
Oh ben ne vous flagellez pas non plus quand meme
GrisBleu -> En fait le souci, c'est qu'une fois choisi une base et un produit scalaire il y a deux manière naturelle d'identifier l'espace à son duale, par le produit scalaire, ou par la base duale, ca ne donnera la meme identification que si la base choisie est orthonormale pour le produit hermitien.
Selon ce que dit zaskzask la convention choisie par les mecaniciens est d'identifier l'espace à son dual, via le produit scalaire... ce qui me semble une bonne façon de faire, et n'est pas incompatible avec ce que vous dites (au contraire).
Je crois que le souci etait ailleurs (à moins que je vous ai mal compris).
Bonjour
J'avais cru justement que la confusion venait des ses 2 manieres de faire
A bientot
Ok, merci pour la grande réponse. En fait j'ai mis le temps non pas parce que je ne comprenais pas mais plus parce que je voulais bien faire les choses et que la taille de la réponse (je l'avoue!) me faisait très peur.
Je pense avoir compris ce que tu veux dire, et ça ma motivé pour prendre un cours sur les tenseurs plus tard
Donc merci!
PS: j'ai pas eu le courage pour l'instant de lire l'article. Ce sera pour ce week-end!
