Espaces vectoriels

[invite4c80defd]

Bonjour a tous,
Je suis en train de faire des exos de maths et je rencontre un probleme.

Soit:
E1={(a,-a) /a appartient à R}
E2={(a,a-1) /a appartient à R}
E3={(x₁,x₂,x₃) appartenant à R³ tel que x₂=3x₃}

Je dois montrer que E1 est un sous-espace vectoriel de R²et que montrer que E2 n'en est pas un.
Il faut préciser une base de E1, sa dimension et sob équation cartésienne.
Dire si E3 est sous espace vectoriel de R³.

Si je dis que E1 est stable pour l'addition et pour la multiplication est qu'il est non-nul, est-ce suffisant ?
Pour préciser une base de E1, je ne vois pas trop par contre...

Merci d'avance.
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[PlaneteF]

Bonsoir,

Si je dis que E1 est stable pour l'addition et pour la multiplication est qu'il est non-nul, est-ce suffisant ?

non vide pas "non-nul"

(Sinon petite précision : stable par multiplication par un scalaire)

[invite4c80defd]

ok merci je vais essayer ainsi.

[invite4c80defd]

J'ai réussi à faire la premiere question mais je n'arrive pas a préciser une base de E1 (une base de E1 étant pour moi une famille libre et génératrice de E1).

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir.

Dans un sous-espace vectoriel, il y a toujours le vecteur nul de l'espace vectoriel. Si une partie ne le contient pas, ce n'est pas un sev. Attention {(x,x²)/x réel} contient (0,0), mais n'est pas un sev de R².

Cordialement.

[invite4c80defd]

donc pour E2, le vecteur nul n'appartenant pas a l'espace vectoriel, E2, n'est pas un s.e.v. de R2 ? (moi j'ai essayé de montrer qu'il n'y avait pas stabilité pour l'adddition)

Pour la base de E1: je ne comprend pas tout car si je voulais une base de R2, il me faudrait deux vecteurs non-proportionnels. Or, je n'en ai pas ici. La base serait donc la droite vectorielle Vect(u) (de dimension 1 ?)
avec u le vecteur de coordonnées (1,-1) ?
corrigez-moi si je dis des bétises

[gg0]

Une base d'un espace vectoriel nul est vide (0 éléments). En dimension 1, c'est un vecteur non nul. Comme R² est de dimension 2, ses sous espaces vectoriels ont des base à 0 ({(0,0}), 1 ou 2 (R²) éléments. Tu n'as pas trop le choix donc ...
Et trouver une partie génératrice de E1 la plus petite possible est assez évident, non ?

La base serait donc la droite vectorielle Vect(u)

Tu devrais réétudier tes cours pour bien comprendre libre/générateur/base/dimension. Si tu ne connais pas le cours sur le bout des doigts, tu vas patauger dans la choucroute.

Le pire, c'est que tu as trouvé sans t'en rendre compte !!!

[invite4c80defd]

Le problème c'est que je n'ai pas mon cours sur moi, du coup, c'est un peu compliqué mais comme le prof a parlé de droites vectorielles, j'y ai pensé !
Pour la question "Dire si E3 est sous espace vectoriel de R3", j'ai trouvé que non car j'ai trouvé que la stabilité pour la multiplication n'était pas vérifiée, est-ce correct ? (car j'ai peur me m’être trompé dans la démo).

[PlaneteF]

Pour la question "Dire si E3 est sous espace vectoriel de R3", j'ai trouvé que non car j'ai trouvé que la stabilité pour la multiplication n'était pas vérifiée, est-ce correct ?

Non ce n'est pas correct.

[gg0]

Si x₂=3x₃, alors kx₂=3(kx₃).
Pas de problème ici.

[invite4c80defd]

J'ai trouvé c’est bon! j'avais oublié un 3 quelque part...
merci d'avoir confirmé que c'était faux.
J'ai encore une petite question:
pour trouver l'équation cartésienne de la base E1 (droite vectorielle: vect(u) avec u(1,-1)), il faut trouver l'équation de le droite ayant pour vecteur directeur u ? ; c'est-a-dire: y=-x ?

Merci beaucoup

[PlaneteF]

pour trouver l'équation cartésienne de la base E1 (droite vectorielle: vect(u) avec u(1,-1))

Attention, une droite vectorielle n'est pas une base, il s'agit de 2 choses de nature différente : Une droite vectorielle est un sous-espace vectoriel, une base est une famille de vecteurs.

y=-x

Dans un espace de dimension 3, c'est l'équation d'un plan, pas d'une droite !

[invite4c80defd]

La base de E1 à préciser n'est donc pas la droite vectorielle vect(u) ? que dois-je répondre a la question du coup ?
(Désolé si je m'embrouille mais comme c'est la première fois que je fais ce genre de choses, c'est un peu difficile ..)

Merci

[PlaneteF]

La base de E1 à préciser n'est donc pas la droite vectorielle vect(u) ?

Mais la droite vectorielle Vect(u) c'est E₁ lui-même, ce n'est pas une de ses bases !

que dois-je répondre a la question du coup ?

Une base d'une droite vectorielle est formée d'un vecteur non nul, donc ...

[invite4c80defd]

ok , Vect(u) : c'est E1 , ça s'éclaircit !
Mais pour la base d'une droite vectorielle, si je prend le vecteur v(2,-2), v étant proportionnel a u, on a une base ?

Merci

[PlaneteF]

Mais pour la base d'une droite vectorielle, si je prend le vecteur v(2,-2), v étant proportionnel a u, on a une base ?

Oui en prenant , ... oui en prenant aussi ...

[invite4c80defd]

ok merci, je crois que j'ai compris cette fois.
Merci beaucoup pour votre aide à tous les deux!!
(tant que vous y êtes, est-ce que vous pourriez regarder le sujet "suites" qui traite en réalité d'un système a deux inconnues, ça m'aiderait beaucoup car gg0 est déconnecté malheureusement...)

Merci