Methode de Newton, le come back

[invite204ee98d]

Bonjour,

L'exercice suivant porte sur la méthode de Newton :

1)a) Approximation de par la méthode de Newton : explicitez la suite obtenue en appliquant la méthode de Newton à

J'ai écrit

b) Application avec et . Montrez que les hypothèses du theoreme sont bien verifiees (sachant que ).
En deduire que : . Ecrire un algorithme permettant d'obtenir le premier tel que soit une valeur approchée de près. Combien d'itérations suffit il de faire ?

Pour le début je ne vois quelles sont les hypothèses à vérifier : Dans mon cours le théorème est le suivant :

Soit f [a,b] -> R de classe . On suppose que f(a), f(b) <0 ; f' et f" ne s'annulent pas sur [a,b], alors l'équation f(x)=0 a une solution unique sur [a,b] et la suite définie par :

si f'f"<0 sur [a,b]
si f'f">0 sur ]a,b[

et alors converge vers

Merci de votre aide au revoir.
-----

[invite204ee98d]

Surtout que dans ce cas, on a pas f(a) et f(b)<0, je ne comprends pas

[invite204ee98d]

En fait c'est bon j'ai vérifié les conditions mais je butte sur l'inégalité à démontrer :

si je repars de puis que je soustrais de chaque coté j arrive à : donc ensuite
je suppose que je dois essayer de montrer

mais cela impose des conditions sur et je bloque.

[invite4842e1dc]

Salut

Dans l'énoncé de ton exercice , bien sûr il fallait comprendre que

Sinon , ton exercice consiste à appliquer la méthode de Newton à la fonction définie par avec


On obtient alors la suite définie par la relation de récurrence

Cette suite est très connue : c'est la suite dé Héron

Cette suite est une suite monotone qui converge vers pour tout

Piste de travail pour la majoration de cette suite :

1) il faut écrire que

2) majorer cette expression


ps)
Dans le cours de maths sur la "Méthode de Newton" , on peut également démontrer une majoration par une suite Hypergéométrique
mais je trouve cette méthode très compliquée...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Bonjour,
Quelle pourrait être ou quelle est la définition de la méthode de Newton ?
Je pose ma question autrement : l'établissement d'une suite, comme dans le cas présent, est-il en relation directe avec la méthode de Newton.

[leon1789]

Question sérieuse ??? ... http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9...L.27algorithme

[Dlzlogic]

Oui, question sérieuse, même chez WikiMachin, je n'ai pas trouvé de lien entre la méthode de Newton et l'utilisation des suites.
En fait, tu aurais pu me répondre "Non, il n'y a aucune relation directe entre la méthode de Newton et les suites, mais rien n'interdit en mathématique de proposer un exercice qui met en oeuvre deux notions qui n'ont aucun lien directe entre elles."

Je me suis posé la question autrement : s'il y a un lien, alors l'utilisation des suites serait un autre moyen que la dérivée pour aboutir au même résultat, et c'est là que ça aurait commencé à m'intéresser. Apparemment, il n'en est rien.

[inviteea028771]

Gné...

La méthode de Newton est une façon de construire une suite qui va converger vers un des zéro de la fonction (sous certaines hypothèses)

[Dlzlogic]

Gné...

La méthode de Newton est une façon de construire une suite qui va converger vers un des zéro de la fonction (sous certaines hypothèses)

Oui, cette réponse me convient, j'aimerais bien en savoir un peu plus.
Un exemple classique est la résolution d'une équation dont l'inconnue est un angle défini par sa valeur ET une ligne trigonométrique.

[leon1789]

En fait, tu aurais pu me répondre "Non, il n'y a aucune relation directe entre la méthode de Newton et les suites, mais rien n'interdit en mathématique de proposer un exercice qui met en oeuvre deux notions qui n'ont aucun lien directe entre elles."

Effectivement, j'ai hésité à répondre cela pour faire un petit message humouristique et ironique.

Oui, question sérieuse, même chez WikiMachin, je n'ai pas trouvé de lien entre la méthode de Newton et l'utilisation des suites.

MDR ! tu ne connais pas la méthode et en plus tu ne cherches pas à lire les liens qu'on te donne (comme d'hab quoi).
Vas-tu continuer à troller la discussion ?

[Dlzlogic]

Mais si je connais la méthode, elle est utilisée fréquemment en informatique pour résoudre une équation.
Naturellement cela nécessite de faire une boucle.
Ce qui m'intéresse dans la présente discussion, c'est la formalisation Newton->suite.
Par ailleurs, je ne suis pas sûr, et c'est le but de ma question, que l'on puisse généraliser la méthode de choix de la nouvelle valeur à adopter. En tout cas, je ne me souviens pas avoir utilisé deux fois la même méthode de choix, et c'est à mon avis la seule difficulté dans l'utilisation.
Si tu veux en voir une utilisation, fais un calcul de débit d'un tuyau sur mon site. C'est d'ailleurs l'exemple type auquel je faisais allusion parce qu'il est bien connu.

[leon1789]

Tout ça laisse l'impression que tu connais bien la méthode de Newton, en effet.

Par ailleurs, je ne suis pas sûr, et c'est le but de ma question, que l'on puisse généraliser la méthode de choix de la nouvelle valeur à adopter. En tout cas, je ne me souviens pas avoir utilisé deux fois la même méthode de choix, et c'est à mon avis la seule difficulté dans l'utilisation.

A mon avis, le mieux est que tu ouvres une nouvelle discussion car tes questions sont loin des préoccupations de dalfred.

[invite4842e1dc]

Bonjour,
Quelle pourrait être ou quelle est la définition de la méthode de Newton ?
Je pose ma question autrement : l'établissement d'une suite, comme dans le cas présent, est-il en relation directe avec la méthode de Newton.

Salut

La réponse est OUI (voir les explications et les contraintes sur la fonction qui sont écrites dans le 1er message de cette discussion...)

L'exemple (qui est celui de cette discussion) :
Pour calculer une valeur approchée du nombre avec
on va étudier une suite qui va converger vers en appliquant la méthode de Newton à la fonction sur un intervalle qui contient

Pour ton info :
Il y a d'autres méthodes (qui sont plus ou moins similaires à cette méthode) : par exemple "la méthode dite de Lagrange"
(et qui a pour avantage de ne pas avoir besoin de calculer la fonction dérivée )