Méthode de Newton

[invite3b50103a]

Bonjour a tous
Voila j'ai un DM sur la méthode de Newton et je bloque sur une question, je rappelle les notations :

Soit I un intervalle de R et f appartenant a C²(I,R). On suppose que f' s'annule en un unique point z dans l'intérieur de I et que f' ne s'annule pas sur I. On note F qui a tout x appartenant a I associe l'abscisse du point d'intersection entre l'axe des abscisses et la tangente de f en x.

Je devais d'abord justifier que F est bien défini et montrer que F(x)=x+f(x)/f'(x), j'ai réussi sans trop de problème Et maintenant je bloque a cet question :
Montrer que F(z+h)-z=(f''(z)/2f'(z))*h²+o(h²)( Quand h tend vers 0 )
J'ai essayé de calculer les DL de f et f' en z avec la formule de Taylor Young mais je ne trouve pas le bon résultat, j'obtient :
F(z+h)=h - 1 - (f''(z)/f'(z))*h + o(h²)
J'ai peut être fait une erreur ou alors ce n'est la formule de Taylor Young qu'il faut utiliser
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[invitec317278e]

si tu as fait les calculs avec F(x)=x+f(x)/f'(x), c'est normal que tu n'aboutisses pas.
La bonne fonction est F(x)=x-f(x)/f'(x)

[invite3b50103a]

Oui il y a effectivement un - mais dans mes calculs je n'ai pas fait l'erreur .
J'ai : F(z+h)= ( z+h) - f(z+h)/f'(z+h)
F(z+h)-z= h - f(z+h)/f'(z+h)
Et je calcule ensuite les DL de f et f' avec Taylor Young et j'aboutit a ce que j'ai mis au premier post. je ne vois vraiment où je me suis trompé....

[invite3b50103a]

J'ai trouvé une erreur mais je me retrouve avec :
f(z)-(f''(z)/2)*h²)/(f'(z)+f''(z)*h)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

manifestement, tu n'as pas ce que tu souhaites au dénominateur. fais donc un DL de 1/(1+x).
d'autre part, que vaut f(z)...?

[invite3b50103a]

DL de 1/(1+x) ?
1/1+x = 1 - x + x² - x^3 ...........
et f(z) = z - f(z)/(f'(z) . Ah j'ai peut etre trouvé =) Merci