Exercice avec solution.

[invite964e755f]

1.\textbf{Montrer que les solutions de admettent une infinité de zéros dans .

Supposons qu'il existe une solution avec un nombre finie de zéros donc il existe un intervalle sur le quel est positif ou négatif .

Supposons que sur .

Comme et sur donc pour tout donc est décroissante sur .

De plus si n'est pas borné inférieurement alors il existe et tel que : pour tout et donc par intégration :
.

Ce qui est en contradiction avec le fait que , donc est borné inférieurement est la limite existe .

Soit ,il existe telle que ce qui implique que

par intégration :

On déduit que et .

Pour $n\geq1$, soit $c_n\in(n,n+1)$ tel que $y'(n+1)-y'(n)=y''(c_n)$ (d'après le théorème des valeurs intermédiaire )


donc , et en utilisant la limite précédente on trouve

.

Comme est décroissante et on déduit que , donc est croissante .

Par conséquent .

Donc contradiction avec .

2.\textbf{Montrer que les solutions de admettent au plus un zéro dans }.

Supposons que est une solution non-nulle et s'annule au moins une fois.

Soit $a$ tel que , alors ,puisque la seule solution de l'équation valant et est la solution nulle .

Supposons qu'il existe un autre point ou s'annule, on suppose que et on pose .

$$ car et donc est un zéro isolé de .

On peut supposer que est strictement positif sur ; ceci entraine que et .

Mais alors est strictement positif sur et donc est strictement croissante .

Ceci contredit le fait que et
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[invite4842e1dc]

Salut

Ton message est soit trop détaillé , soit mal posé car je n'ai pas compris ta question

Pour info : voici ce qu'on trouve via le site Wolfram : http://www.wolframalpha.com/input/?i...e^%28t%29y%3D0

[invite964e755f]

Re , merci de m'avoir répondue :
pour la premiére question , il est demandé de prouver que les solutions de l'équation différentielle y''+e^ty=0 admettent un nombre infinie de zéros ,
et pour répondre a ça j'ai procédé par l'absurde (mon message n'est pas très lisible je n'ai malheureusement pas pu le modifier )