sous espace vectoriel, sous espace vectoriel engendré et combinaison linéaire

[invitefb4f32d0]

Bonjour à tous,

Je suis en première année de BCPST et j'ai quelques petits problème pour comprendre mon cours d'algèbre linéaire!

Concrètement, je n'arrive pas à voir ce qui différencie le sous espace vectoriel du sous espace vectoriel engendré... Dans mon cours, j'ai l'impression qu'un sous espace vectoriel ne se rapporte qu'à 2 vecteurs mais je suppose que ce n'est pas le cas et qu'on peut généraliser à un nombre quelconque de vecteurs ... non? Le problème, c'est que le sous espace vectoriel contient les vecteurs et toutes leurs combinaisons linéaires (dites moi si je me trompe!) or, le sous espace vectoriel engendré est l'ensemble des CL d'une famille de vecteurs. Pour moi, c'est la même chose! ou alors je n'ai pas compris ce qu'est une famille de vecteurs?? pour moi c'est un ensemble de vecteurs, mais peut être qu'il y a d'autres conditions pour être considérée comme une famille??

Merci de votre aide!
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[invite18c42f07]

Salut!

Alors je suis pas super fort pour les explications mais je vais commencer par le début.
Pour comprendre la différence entre un sous espace vectoriel et un sous espace vectoriel engendré (sous entendu par une partie A finie ou non), il faut revenir à la définition de chacun d'entre eux:

Soit E un ev de dimension n (n étant éventuellement infini) sur un corps K et F une sous partie de E. Par définition, F est un sev de E si:
- F est non vide (critère à ne pas oublier lorsqu'on demande de montrer qu'une partie est bien un sous espace vectoriel!)
- pour tout (x,y) de F² et (u,v) de K², ux+vy est dans F.

Ca c'est pour les sev. Maintenant si on te donne une partie A, le sous espace engendré par A est par définition le plus petit (au sens de l'inclusion) sous espace vectoriel contenant A. Une autre définition (qui est équivalente) est que l'espace engendré par A est l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A. Du coup, une famille maximale de vecteurs linéairement indépendant de A peut être vue comme une base de l'espace engendré par A.

Ensuite par rapport à ton cours, tu veux dire quoi par rapport à généraliser à n vecteur?

En tout cas dire qu'un sous espace vectoriel contient les vecteurs et toutes leurs combinaisons linéaires est juste (par définition), mais dire que le sous espace vectoriel engendré par une partie est l'ensemble des combinaisons linéaires d'une famille de vecteurs est juste aussi (parce que par définition un sous espace engendré EST un sous espace vectoriel)! Les deux sont donc vrais parce que sev et sous espace engendré sont structurés de la même manière.

Pour ce qui est des familles de vecteurs, ça veut dire ce que ça dit et tu as juste, c'est un ensemble de vecteurs quelconque.

[invitefb4f32d0]

Que veux-tu dire par "le plus petit au sens de l'inclusion" ? Si c'est le plus petit sev, et qu'il est également l'ensemble des CL des vecteurs de A (qui est une famille c'est bien ça?), ça veut dire qu'un sev peut contenir autre chose que les CL des vecteurs de la famille??

Ensuite par rapport à ton cours, tu veux dire quoi par rapport à généraliser à n vecteur?

Et bien quand on dit que ux+vy est dans F, x et y sont 2 vecteurs. Mais peut-on considérer la même définition avec n vecteurs?

[invite18c42f07]

Déjà si z=ux+vy est dans F et que w est dans F, alors az+bw est dans F donc oui (au)x+(av)y+bw est dans F donc tu peux généraliser à n vecteurs! Mais c'est inutile parce que si pour deux c'est bon c'est que c'est bon pour autant de vecteurs que tu veux!

Ensuite le plus petit sous espace vectoriel contenant A, c'est :
- un sous espace vectoriel G (eh oui haha)
- qui contient A
- enfin, tel que si F est un sous espace vectoriel contenant A, alors F contient G!


Après par rapport à ce que tu disais
c'est le plus petit sev : oui.
c'est l'ensemble des CL des vecteurs de A : oui.
Mais c'est une équivalence! Il ne faut pas voir ça comme un sev qui EN PLUS est l'ensemble des CL des vecteurs de A parce qu'on dirait deux fois la même chose!

A noter que A est une partie de E. C'est donc un ensemble de vecteurs, tu peux voir ça comme une famille mais bon. Tu risques de t'emmêler si tu appelles une partie une famille.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefb4f32d0]

Bon, pour l'équivalence plus petit sev/ensemble des CL, j'ai compris (c'est déjà ça!), pareil pour le coup du "si ça marche pour 2 vecteurs, ça marche pour n (enfin je crois...). Après, c'est quoi la différence entre une famille et une partie? Et je n'arrive toujours pas à saisir la nuance entre vect et sev!
Bon, un vect est un sev, ça, ça va. Mais j'ai beau lire les définition de mon cours, ou que je trouve sur internet, ou que tu m'as donné, je ne vois pas la différence! Un vect est engendré par une famille de vecteurs de K^p, ok. Mais en quoi est il le plus petit existant?! Et un sev, est forcément engendré par quelque chose non? Par K^p ? (c'est ça la différence? d'où le fait que si ça marche pour 2 ça marche pour n?)

[invite4842e1dc]

Bonjour

Voici quelques commentaires sur les notions de l'EV engendré par n vecteurs

Soit un E un IR-E.V

ET soit A={ } avec une famille de vecteurs de E

1) on note vec{ , ,...., } l'espace vectoriel engendré par ces n vecteurs

2) Si ces n vecteurs sont indépendants (ou libres) alors la dimension de cet EV est n

3) cet espace vectoriel est le plus petit ( avec comme ordre de comparaison : l'inclusion ) de tous les SEV de E qui contiennent "la famille de n vecteurs" A

[invitefb4f32d0]

C'est à dire que c'est le plus petit, par rapport aux autres espaces, plus grands, qui contiennent A car ces sous espaces vectoriels plus grands contiennent d'autres vecteurs que ceux de A c'est bien ça?

[invite4842e1dc]

"plus petit" avec comme "relation d'ordre sur les ensembles" l'inclusion : c'est à dire

on a : est "plus petit" que si et seulement si

[invitefb4f32d0]

d'accord, je crois que j'ai compris, donc un sev, c'est comme un sev engendré par K^p en fait?

[invite4842e1dc]

non

F est un sev de l'ev E si et seulement si
- F est inclus dans E
- F est un ev

Ne pas confondre avec la notion d'un sev F de E engendré par une famille de vecteurs....

[invitefb4f32d0]

par ce qu'on peut avoir des s-ev qui sont autre chose que des s-ev engendrés??!

[inviteea028771]

par ce qu'on peut avoir des s-ev qui sont autre chose que des s-ev engendrés??!

Tout les espaces vectoriels sont engendrés par n'importe quelle base de cet espace vectoriel...

Mais généralement, quand on dit "sous-espace vectoriel engendré", juste après il y a "par xxxxx". On donne des indications supplémentaires, mais l'objet c'est toujours le même "un sous espace vectoriel"

[gg0]

Bonsoir.

"s-ev engendré" ne veut rien dire. C'est exactement la même chose que la différence entre un martin-pêcheur (*). Un sev est engendré par la partie (ou la famille A) si c'est l'ensemble des combinaisons linéaires des éléments de A. Il ne faut jamais lire un morceau de phrase en le séparant de la suite et de ce qui précède.

Cordialement.

(*) réponse : Il n'y en a pas, bien au contraire, les deux pattes sont pareilles, surtout la gauche.

[invitefb4f32d0]

Aaaaaaaaaaaaaaaah!!! Décidément je n'avais rien compris! En disant engendré, je pensais engendré par une famille!Merci beaucoup en tout cas (et en plus maintenant, je peux différencier un martin pêcheur!!)