sous espace vectoriel engendré par une partie

[invite69d45bb4]

bonjour à tous.voici mon probleme le theoreme du cours dit que l'intersection d'une famille quelconque de sous espace vectoriel d'un K-espace vectoriel est un sous espace vectoriel et dans la deuxieme partie de la demonstration voila ce kil disent :"soit maintenant X une partie quelconque d'un e-v E on appelle sous espace engendré par X l'intersection de tous les sous e-v de E contenant X.il est clair que c'est le plus petit sous e-v de E contenant X on le note vect (X).ce que je ne comprend pas c'est pourquoi c'est le plus petit sous e-v de E contenant X.et deuxieme question je ne comprend pas non plus pourquoi une reunion de sous espace vectoriel n'est pas en general un sous espace vectoriel.merci par avance.
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[invitebe0cd90e]

1) Soit F l'intersection de tous les sous espaces vectoriels contenant X, et suppose qu'il n'est pas le plus petit. Par definition ca veut dire qu'il existe tel que F' contient X et F' different de F. Or, de maniere evidente on a , donc contradiction avec la definition de F.

Ca c'etait la preuve rigoureuse mais essaie de te representer les choses et tu verras que c'est evident.

2) Il suffit de prendre un contre exemple ! Prend les sous espaces de R^2 engendré respectivement par (1,0) et (0,1), leur reunion n'es pas un espace vectoriel.

[invite69d45bb4]

mais en fait c koi F ???

[invite69d45bb4]

heu je veu dire en fait c koi F'

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

Bah je l'ai dit, c'est un sous espace de F, different de F, et qui contient X. Je suppose qu'il en existe un et je montre qu'on arrive a une contradiction...

[invite57a1e779]

heu je veu dire en fait c koi F'

Je reprends autrement.

Soient les sous-espaces de qui contiennent , et l'intersection de ces sous-es contenant [/TEX]X (donc est l'un des ) : tu as donc, pour tout indice , (définition de l'intersection), et est bien le « plus petit» des .

jobherzt te propose une autre formulation de la preuve : si est un sous-espace de « plus petit » que , c'est-à-dire , et si contient , c'est -à-dire est l'un des , alors , donc et est bien « le plus petit ».

[invite69d45bb4]

dsl maios j'ai du mal à comprendre si quelqu'un pouvait m'expliquer beaucoup plus simplement ca m'aiderai beaucoup .merci par avance