Sous-espace vectoriel stablisé par un endomorphisme ...

[invite0f31cf4c]

Bonjour à tous,
J'ai encore besoin de votre aide ...
Je n'ai pas compris comment l'on fait pour déterminer pratiquement un espace vectoriel stabilisé par un endomorphisme, sachant que l'on connait la matrice dans une certaine base de cet endomorphisme.
On me demande de trouver un sous-espace vectoriel de dimension 1 stablisé par l'endomorphisme u. Donc si j'ai bien compris, je dois trouver le vecteur k, tel que u(k) = a.k ou est un réél (enfin, ici, c'est un réél, puisque le corps des scalaire est l'ensemble des nombres rééls).
Comment doit-je faire ?
Merci beaucoup ...
++ !
L.S.
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[invitef45cc474]

Salut.
La matrice a-t-elle une propriété particulière ou est-elle juste donnée par ses coefficients? De quelle taille est-elle?
Si tu as juste ses coefficients, la méthode générale reste le polynome caractéristique : k est une valeur propre de la matrice A si et seulement si elle est racine du polynome det(X*Id-A). L'espace propre associé à une valeur propre k est Ker(A-k*In).

Nico

[invite0f31cf4c]

Alors ... Non, la matrice n'a pas de propriété particulière à part qu'elle est relativement simple. C'est une matrice de hauteur et de largeur 4.
Donc, j'utilise le polynome caractèristique ...
Voici la matrice de u dans une base e de E ou E est un R-espace vectoriel de domension 4.
0 1 0 2
0 0 0 1
1 0 1 0
0 0 0 2
On en déduit le polynome caractèristique : P = det(mat(u) - X*I) = X^2 * (X - 1) * (X - 2).
Donc Sp(u) = {0, 1, 2}.
dim(Ker(A - 2 * I)) = dim(E) - rang(A - 2 * I) = 4 - 3 = 1.
Donc, ça tombe bien, puisque l'on cherche un sous espace vectoriel de dimension 1.
Mais ensuite ... Je sais que c'est tout bête, mais c'est une sorte de gros trou de mémoire à cause des vacances qui me font poser toutes ces questions ...
Merci !
++ !
L.S.