espace vectoriel engendré par l'intersection de deux hyperplan

[invitea06097b6]

Bonjour à vous tous ( en vous remerciant pour la dernière fois) ,
cet exercice me pose un petit soucis :

Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n, ( K = R ou C )
Soit H1, et H2 deux hyperplans distinct de E ( donc de dim=n-1)
Determinez dim (H1 inter H2 )



je pense à sa, mais je sais pas coment le montrer rigoureusement, quelqu'un pôurrait m'aider svp?

On a:
dim(H1 inter H2) = dim( H1) + dim(H2) - dim(H1+H2)

De plus :
- dim H1 = n-1
- dim H2= n-1
- dim ( H1+H2)=n

Donc:
=> dim(H1 inter H2)=n-2


Mon problème est de determiner la dim H1+H2, pour moi c'est logique que sa engendre l'espace E, mais coment le demontrer... merci....
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[thepasboss]

Bonjour,

Et bien pour répondre à ta question il me semble qu'il suffit de prendre une vecteur non nul de H2 qui ne soit pas dans H1 (ce qui est possible car H1 et H2 sont dictincts et si bien sur on travail avec n supérieur ou egal à deux mais le cas n=1 est trivial )

Alors si on appelle e(n) ce vecteur et qu'on prend B=( e(1) , ... , e(n-1) ) une base de H1, la famille B'= ( e(1) , ... , e(n-1) , e(n) ) est forcemment libre sinon on a contradiction soit avec le fait que B est libre soit avec le fait que e(n) n'est pas dans H1.

Donc on a immédiatement Dim( H1 + H2) supérieur ou égal à n et donc trivialement H1 + H2 = E

Voili voilu

PS: par contre la formule que tu utilise au début ne me dit rien, mais réflexion faite elle m'a l'air juste... Va falloir que je potasse mon cours moi...

[invitea06097b6]

merci à toi !