Aire de l'intersection de deux cercles

[invitecccc3a49]

Le rayon du cercle noir est 1. Quel doit être le rayon r pour que la surface bleue dans le cercle soit la même que la surface blanche ?


MERCI!
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[Theyggdrazil]

Bonjour

[invite6b1e2c2e]

Bonjour aussi,

C'est un assez joli problème que tu poses là.
Après mûre réflexion, voilà ce que je pense être vrai. Attention, il y a quelques raisonnements à la physicienne qui traînent...
J'estime l'aire en blanc S en fonction de r le rayon du cercle.
Evidemment, on s'attend à avoir S(0) = 0, S(2) = Pi, et on s'intéresse à r entre 0 et 2.
Voilà l'idée : Je calcule la dérivée de S par r.
Si j'appelle \alpha(r) la fonction qui à r associe l'angle entre le diamètre et l'un des points d'intersection du cercle, j'ai facilement que cos(\alpha(r)) = r/2.
Après, c'est là que je sors mon pipotron, je dis que quand j'augmente de dr, moralement, (*) c'est comme regarder l'aire d'une couronne entre r et r+dr dans la zone d'angle |a| < \alpha(r). Du coup, j'en déduis que
\frac{dS}{dr} = 2 \alpha(r)\ r
Je vérifie après coup que S(0) = 0 et S(2) = Pi sont deux conditions compatibles, ce qui prouve que, si j'ai fait des erreurs, au moins elles s'éliminent à la fin .

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rvz

[edit : Vous avez failli avoir du latex, mais je sais pas pourquoi, il ne semble pas afficher ce que j'ai tapé, alors je vous l'ai laissé en tex, et si une bonne âme ou un modo veut essayer de le compiler, qu'il n'hésite pas ]

* = A des termes d'ordre 2 près.

[invitecccc3a49]

Pardon, c'est vrai que j'ai oublié de dire bonjour.

Bon, merci pour la réponse mais c'est du chinois pour moi (excusez mon incompétence).
Finalement, r vaut combien?
Et y'aurait pas une méthode plus "géométrique"?

Encore merci!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Ah oui, j'oubliais le plus important.

Du coup, S(r) = \int_0^r 2* Arccos(x/2) x dx = Pi/2 est une équation assez compliquée, même si après un petit changement de variable, on trouve que a = alpha doit vérifiée la relation
S(r)= A(a) = Pi + 2a cos(2a)-sin(2a) (A vérifier ?)
Donc A(a) = Pi/2 ssi Pi/2 + 2a cos(2a) - sin(2a) = 0
Sauf erreur, ça amène à a = 0.96, et r environ 1.14.

__
rvz, c'est quand même furieusement bizarre qu'il n'y ait pas de méthode simple pour déterminer cette valeur (ou de a ou de r, je ne suis pas sectaire)

[invite636fa06b]

Et y'aurait pas une méthode plus "géométrique"?

Bonsoir,

Oui, on peut calculer l'aire par une méthode purement géométrique :
1 Calculer l'aire comprise entre une corde et l'arc de cercle correspondant en fonction de l'ange au centre. Il suffit de soustraire la surface d'un triangle du secteur de cercle.
2 Ecrire que la surface broutée est la somme de deux aires ..
On arrive bien sur à la même équation.
NB Ce problème est très classique voir par exemple :
http://forums.futura-sciences.com/sh...ghlight=chevre

[invitecccc3a49]

Grand merci à vous deux!

[invite6b1e2c2e]

Merci à Zinia pour ce lien. En plus, je suis content, je ne me suis même pas planté dans mes pipo
Même si ma méthode est tres loin d'être la plus simple, elle est quand même plus pratique quand on connaît pas ses formules

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rvz

[inviteb47fe896]

Si on rapporte les deux cercles à un système d'axes orthonormés le premier ( celui des ordonnées ) étant l'axe de symétrie de la figure et le second (celui des abcisses) la tangente au cercle unité passant par le centre du cercle "r" on peut mettre les deux cercles en équation ; puis au moyen d'une intégrale double ( ou d'une intégrale curviligne) trouver l'aire de la " lunulle " ; il suffit alors d'écrire qu'elle est égale à pi/2 pour déterminer "r"

[invite6b1e2c2e]

Certes. Seulement il est probable que cet intégrale revienne plus ou moins au calcul que j'ai fait, après moults changements de variables.

__
rvz

[matthias]

Le problème n'est pas le calcul de l'aire de la lunule (une intégrale de base y suffit et ne pose aucune difficulté), c'est que l'équation obtenue à la fin doit être résolut numériquement.

[invited877b256]

... c'est que l'équation obtenue à la fin doit être résolut numériquement.

justement,...

Bonjour,
Pour trouver la solution, j'avais procédé exactement comme rvz car de toute façon je vois pas de méthode plus simple que
,
sauf que, honte sur moi !!!, j'ai galéré pour trouver avant de penser au triangle conscrit.
Au final, je me suis aventuré à traduire sin et cos en leurs développements en série réspectifs et résoudre le pôlynome final avec un soft.
En me disant que la solution devait converger avec l'ordre du pôlynome (ie du développement), je trouve bien à un moment à un pouième près les mêmes résultats que rvz , (alpha = -0.95.., r=1.15..) mais comble de surprise, j'ai constaté qu'en augmentant énormément l'ordre du pôlynome (30, 40), plusieurs racines apparaissent à lors que je pense, l'on doit avoir unicité de la solution !
Quelqu'un pourrait il me dire ce qui ne va pas avec ma méthode? (Est-ce en raison du modulo du cosinus ?)
Et puis , quelle est la fameuse méthode numérique qu'il faut appliquer pour arriver au résultat le meilleur ? (en gros il ont fait quoi dans la publi hyperchèvre ?)

Merci beaucoup pour vos réponses si quelqu'un peut m'éclairer (rvz j'attends tes commentaires critiques..)

Manu

[invite636fa06b]

Bonsoir,

L'équation a en fait une infinité de solutions, approximativement écartées de pi.
Bien sur, elle n'ont pas de signification physique relativement au problème de la chèvre.
En terme de méthode, chercher à trouver les zéros d'un développement limité n'est généralement pas une bonne idée, surtout aussi loin de 0.
Avec une méthode numérique (séquente, newton, dichotomie...), on peut trouver une suite qui converge vers la solution.
Avec newton, on a la suite
on peut partir de u0=2 ou même plus loin, ça converge très vite.
NB si tu prends u0=10, par exemple, ça convergera vers une autre solution de l'équation....

[invited877b256]

Ah oui, très juste pour le DL. Quant à ces méthodes, elles m'étaient sorties de la tête.
Je te remercie beaucoup zinia pour cette réponse très concrète comme je les aime !

[inviteb47fe896]

Le problème n'est pas le calcul de l'aire de la lunule (une intégrale de base y suffit et ne pose aucune difficulté), c'est que l'équation obtenue à la fin doit être résolut numériquement.

Puisque le cercle de départ est le cercle unité, il ne peut y avoir qu'une seule solution ; tous les résultats, même s'ils sont de natures différentes, sont dépendants et doivent concourir à la détermination de "r"
On peut obtenir ce résultat en procédant par des calculs élémentaires sur un découpage de la figure ; mais c'est moins élégant !

[invited877b256]

??? Il n'y a pas le moindre rapport entre le fait que l'on ait pris R=1 pour l'exemple et l'unicité de la solution. Sinon je ne comprend pas bien ce que tu veux dire.
En effet, tu fais vraiment de la geometrie à l'envers ! ()
_____
signé punam, (aussi fort qu'un punami lorsqu'il se change tous les 28 jours en puman, l'homme puma!!, à moins que ce ne soit en chèvre, on sait plus trop...)

PS: le prend pas mal , c'est juste pour rire !

[inviteb47fe896]

Mais c'est évident ; du moment que le deuxième cercle est centré sur la circonférence il ne peut y avoir deux solutions

[invite6b1e2c2e]

signé punam, (aussi fort qu'un punami lorsqu'il se change tous les 28 jours en puman, l'homme puma!!, à moins que ce ne soit en chèvre, on sait plus trop...)

Sujet : Totalement HS

Salut !

Alors il y a des gens qui ont vu l'homme puma ? Tu parles bien du film ? C'est l'un des plus grands navets que j'ai jamais vu

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rvz, qui se souvient de cette formidable expression : "Il vole comme un félin ! "

[invited877b256]

Puisque le cercle de départ est le cercle unité, il ne peut y avoir qu'une seule solution...

re-bonjour,
bien sûr qu'il n'y a qu'une seule solution r (au moins pour se problème à 1D). C'est trivial, comme disent tous les profs un peu débiles. Mais ce que tu dis par cette phrase c'est que tu pourras jamais remplir un verre d'eau à moitié plein quand celui à une autre hauteur que 1 m !
Y'a pas un truc qui cloche ?

Vraiment pardon si j'ai mal compris tes propos, mais cette phrase semble pourtant claire.

manu

[invited877b256]

..Alors il y a des gens qui ont vu l'homme puma ? Tu parles bien du film ? C'est l'un des plus grands navets que j'ai jamais vu

sujet : Totalement HS.

..Malheureusement non mais tu m'a donné envie de le voir car je vient de regarder dans l'internet movie database et j'en ai extrait cette autre réplique gold :
"I've never seen anybody make love in the air before"
ce qui a exité ma curiosité.
Pour te retourner la pareille, je te recommande the The Toxic Avenger qui reste à ce jour, le plus gros navet de série z que j'ai jamais vu, après The relic qui lui malheureusement et vu son budget, n'était pas censé être décalé.