Exercice solution équation

[invitebd9de950]

Bonjour bonjour,
J'ai un petit souci sur un exo de mon DM.
Je vous énonce les questions et ce que j'ai fait:

Soit g la fonction définie sur R par g(x)= x^3-3x+3

1) Déterminer les limites de g aux bornes de son ensemble de def. OK

2) Etudier le sens de variations de g et dresser son tableau de variations. OK

3) Démontrer que l'équation g(x)=0 admet dans R une unique solution que l'on note "alpha".

Voilà je bloque à partir de cette 3ème question, je ne comprend pas comment parvenir à l'unique solution.
J'ai essayé le théorème de la bijection mais le problème c'est que la courbe n'est pas strictement monotone !

Merci de me venir en aide
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[Jon83]

Bonjour!

Le tableau de variation et un tracé de la courbe devrait te mettre sur la voie...

[invitebd9de950]

Elle est croissante de -oo à -1
Elle est décroissante de -1 à 1
Elle est croissante de 1 à +oo

Désolé je n'ai aucune idée

[Jon83]

Ces informations ne sont pas suffisantes...
- où sont les extrémums
- quelle est la valeur de la fonction en ces points?
En traçant la courbe, tu vas comprendre immédiatement...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebd9de950]

Les extremums sont en dessous de y=0 ?
Cela a un rapport ?
Quand on remplace les x de la fonction par -1 on trouve y=-1
par 1 on trouve y= -5
... ?

[Jon83]

Les extrémums sont le points où la dérivée s'annule.
Tu en as trouvé deux: -1 et 1
En ces points, f(-1)=.. et f(1)=..
Ensuite, tu utilises le théorème de la valeur intermédiaire entre -infini et -1
NB: la courbe a cette allure:

[invitebd9de950]

Théorème des valeurs intermédiaires:

g une fonction définie et continue sur l'intervalle [-oo; +oo] et -1 et 1 deux réels dans I, avec -1<1.
Pour tout réel k (ici k=0) compris entre g(-1) et g(1), il existe au moins un réel c appartenant à [-1;1] tel que g(c)=k.
En supposant que g(a)>g(b) et en posant I=[-1;1], on peut dire de facons équivalentes:
Pour tout k appartenant [g(-1); g(1)], l'équation f(x)=k
(ou ici f(x)=0) admet au moins une solution c appartenant sur I.

Mon prof nous a donné ce théorème, est ce que j'ai bien formulé ?

[Jon83]

Ce n'est pas tout à fait cela...

Soit f: [a, b] --> R une application continue, alors pour tout réel u compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = u.

Cas particulier:
si f(a) et f(b) ne sont pas de même signe, il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = 0 (car 0 est compris entre f(a) et f(b)).

Dans ton cas:
- f est continue sur R
- f(-infini)=-infini et f(-1)=+5,
- donc il existe alpha compris entre -infini et -1 tel que f(alpha) = 0 (car 0 est compris entre f(-infini) et f(-1)).

[invitebd9de950]

C'est compris et noté.
Merci beaucoup pour toute vos précisions et votre attention.