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solution équation non linéaire



  1. #1
    jmfa

    solution équation non linéaire


    ------

    Bonjour à tous

    je cherche à résoudre l'équation non linéaire en x suivante:

    x^b * (1-x)^(1-b) = exp(a)

    avec a un réel quelconque, et 0<b<1
    tout ce que je sais, c'est que la solution x doit se trouver entre 0 et 1.
    on peut toujours "linéairiser" en prenant les log, mais ça m'avance pas beaucoup:

    b * ln(x/(1-x)) + ln(1-x) = a

    quelqu'un a une idée??
    merci beaucoup!
    jm

    -----

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  4. #2
    Jeanpaul

    Re : solution équation non linéaire

    Tu peux déjà étudier la fonction de x ainsi définie. Par les log, la dérivée est assez facile. Elle a un maximum en x=b, donc toutes les valeurs de a ne sont pas possibles.
    Pour résoudre l'équation, je ne pense pas qu'on puisse le faire autrement que numériquement par tâtonnement.

  5. #3
    PopolAuQuébec

    Re : solution équation non linéaire

    Citation Envoyé par jmfa Voir le message
    Bonjour à tous

    je cherche à résoudre l'équation non linéaire en x suivante:

    x^b * (1-x)^(1-b) = exp(a)

    avec a un réel quelconque, et 0<b<1
    tout ce que je sais, c'est que la solution x doit se trouver entre 0 et 1.
    Salut,

    On peut réécrire sous la forme :



    c'est-à-dire :



    Définissons par :

    On cherche donc les valeurs de qui rendent nulle :

    Étant donné que l'on cherche les solutions dans l'intervalle , on peut développer en série de Taylor autour de , avec , jusqu'au premier ordre en . Ensuite on procède par itération. S'il y a une solution dans l'intervalle , intuitivement ça devrait converger. La meilleure première valeur pour est

  6. #4
    jmfa

    Re : solution équation non linéaire

    bonjour,

    merci pour vos réponses. En effet, en passant par les D.L. de Taylor, ça marche, et ça converge même rapidement (en moins d'une dizaine d'itérations)
    merci bcp!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    minnolina

    Re : solution équation non linéaire

    Citation Envoyé par PopolAuQuébec Voir le message
    On cherche donc les valeurs de qui rendent nulle :
    Étant donné que l'on cherche les solutions dans l'intervalle , on peut développer en série de Taylor autour de , avec , jusqu'au premier ordre en . Ensuite on procède par itération. S'il y a une solution dans l'intervalle , intuitivement ça devrait converger.
    Salut,
    en effet tu suggère simplement d'utiliser la méthode de Newton. Toutefois ton "intuitivement ça devrait converger" est un peut azardé car cette méthode ne converge pas pour n'importe quel . En effet la méthode de Newton est une méthode de point fixe
    avec
    et donc il y a convergence seulement si est assez proche de la racine que l'on cherche.
    Malheureseument l'unique théorème de convergence globale que je connais demande a f d'être définie sur .

    PS Ceci dit, pourquoi ne pas appliquer la méthode de Newton directement à la function originale, i.e.

    en cherchant d'abord un interval tel que et en appliquant d'abord une méthode de bisection pour approcher suffisament la racine avant de lancer, si nécessaire, l'algoritme de Newton?
    Gloria

    PS Pardon pour mes fautes mais je suis italienne :o

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