approximation de Galerkin, calcul par éléments finis
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approximation de Galerkin, calcul par éléments finis



  1. #1
    invite518b0bc6

    approximation de Galerkin, calcul par éléments finis


    ------

    bonjours,

    le probleme revient a trouver une fonction U є H10(Ω) verifiant
    ∫Ω U’V’ dΩ + ∫Ω UV dΩ= ∫Ω XV dΩ pour tt V є H10(Ω)


    approximation de Galerkin

    H10(Ω) espace de Hilbert

    (φ1,...,φn,......) base hilbertienne
    U(x)= ∑ Ui*φi(x) i>=0
    U(x) ~U(x)N = U(x)= ∑ Ui*φi(x) 0=<i<=N
    HN le s.e.v de H engendré par (φ1,...,φn)
    UN(x)= ∑ Uj*φj(x) 0=<j<=N
    le probleme revient a trouver le reels U1, U2,.....,UN tel que


    ∑ [∫01φ'iφ'j dx + ∫01φiφj dx] Uj=∫01φix dx


    la dernière somme est sur j є [1..n]

    donc voila le problème:
    je comprend pas le passage au deux dernières lignes

    merci d'avance

    -----

  2. #2
    inviteea028771

    Re : approximation de Galerkin, calcul par éléments finis

    En fait pour montrer que l'égalité est vraie pour tout v dans HN, il suffit de montrer qu'elle est vraie pour chaque élément de la base (vu qu'ici c'est linéaire en v).

    Donc tu appliques la formule du début à v = phi_i et u = somme des uj phi_j

    Ça te donnera une équation pour chaque i, donc au final N équations linéaires à N inconnues (les Uj), et on pourra résoudre le système

  3. #3
    invite518b0bc6

    Re : approximation de Galerkin, calcul par éléments finis

    merci, donc on choisit Vi=phi_i ??

  4. #4
    inviteea028771

    Re : approximation de Galerkin, calcul par éléments finis

    En détaillant un maximum :

    Tu pars de la relation suivante :


    Ensuite, comme

    (1) est équivalent à :


    C'est à dire, par linéarité,




    Et il est assez simple de voir que (3) est équivalent à :



    Et ensuite si tu remplaces u par dans (4), tu as :



    Ou encore, par linéarité,

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite518b0bc6

    Re : approximation de Galerkin, calcul par éléments finis

    mercii, ça m'a vraiment aidé, merci énormément

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