Fonction de répartition (v.a discrètes)

[invitedd654e81]

Bonjour/Bonsoir,

Je viens de commencer un chapitre sur les fonctions de répartition et je ne comprends pas un exemple de mon livre. Tout d'abord, on considère cette fonction de répartition : (en passant, ce sont des variables discrètes)



On cherche P(x<3), et, dans le livre, ils font ceci :

P(X<3) = lim (n tend vers l'infini) P(X<=3-(1/n))=lim (n tend vers l'infini) F(3-(1/n)) = 11/12

Ma question : Pourquoi est-ce qu'on n'obtient pas P(X<3) = 1 ? D'après leur raisonnement, la limite devrait donner F(3-(1/n))=F(3) puisque (1/n) s'annulera si n est trop grand, et F(3) correspond à F(x) avec x=3, donc la réponse devrait être 1 normalement.

Pouvez-vous m'aider ? Merci d'avance.

(Désolé de pas écrire toute les formules avec le code tex mais j'ai du mal avec)
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[invite937a1923]

Ma question : Pourquoi est-ce qu'on n'obtient pas P(X<3) = 1 ? D'après leur raisonnement, la limite devrait donner F(3-(1/n))=F(3) puisque (1/n) s'annulera si n est trop grand, et F(3) correspond à F(x) avec x=3, donc la réponse devrait être 1 normalement.

Bonjours,

(1/n) avec n=infini ne donne pas 0 mais 0+, c'est à dire 0 plus un petit quelque chose. Donc 3-(1/n) avec n = infini sera très légèrement inférieur à 3 mais pas égale (Il sera infiniment proche de 3). Donc ça correspondra à ta plage 2=<x<3.

[invite14e03d2a]

Salut,

la définition de F est F(x)=P(X<=x), donc pas tout à fait P(X<x). Plus précisément, on a F(x)=P(X<x)+P(X=x). Pour calculer P(X<x), on utilise le fait que P(X<x) est la limite de P(X<=x+1/n)=F(x+1/n). Note que P(x=3)=1/12 est exactement la hauteur de la discontinuité de F au point 3.

Cordialement

PS: si F(x)=x/2 sur [0,1[, alors ta variable n'est pas discrete.

[gg0]

Bonjour.

Je suppose que c'est et auparavant . Sinon l'énoncé est aberrant.

Dans ce cas, il te suffit de prendre la variable aléatoire qui prend les valeurs 1/2 pour 0, 1/6 pour 1, 1/4 pour 2 et 1/12 pour 3. Tu construis sa fonction de répartition, et tu verras que pour 2<x<3, la fonction de répartition ne vaut pas encore 1. et que P(X<3)=11/12. Il faut avoir 3 dans les valeurs situées jusqu'à x pour obtenir la proba maximale. Avant 3, le dernier douzième n'y est pas.

Pour ce qui est écrit dans le livre (qui est bien compliqué pour rien), deux remarques : F(3-1/n)=11/12, et la limite de 11/12 est ... 11/12, pas 1.
Tu écris "D'après leur raisonnement, la limite devrait donner F(3-(1/n))=F(3) " ce qui est une utilisation de la continuité de F. Mais F n'est pas continue !

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedd654e81]

Ah c'est une erreur de ma part, la première ligne est normalement x<0, pas égal.

Ok donc si je comprends bien, dans le cas du strictement inférieur il fallait comprendre que P(X<3) = F(3-0+) = F(x), et donc le x vaudrait quelque chose entre 2 et 3 (3 étant exclu) ce qui correspond à 11/12, c'est bien ça ?

J'ai une autre question qui ressemble beaucoup à ça, et je pense avoir compris mais je vais vous en faire part pour être sur:

J'ai une autre fonction de répartition qui suit le même modèle que l'exemple, la voici :



Dans un premier temps on cherche P(X=1), donc on dis que P(X=1) = P(X<=1) - P(X<1) = F(1) - F(1-0+) = F(1) - F(b) avec b situé entre 0 et 1 (1 étant exclu) ce qui correspond à P(X=1) = 1/2 + (0/4) - (1-0+)/4 = 1/2 - 1/4 = 1/4 (la réponse du livre). Donc ce qu'on fait là c'est comme tout à l'heure sauf que lorsqu'on calcule F(1-0+) on se permet d'arrondir à 1/4 ? (puisque c'est b/4 on arrondit b à 1 dans le calcul même si sa valeur est 0,99999.. ?), dans le fond ce que je veux dire c'est que pour déterminer la catégorie dans laquelle se situera le b, on prend en compte le 0+, mais dans la formule de la fonction de répartition, on peut l'arrondir au moment de calculer la probabilité ?

Dans le même exercice, on observe maintenant un intervalle : P(1/2<X<3/2)

Je trouve que P(X<3/2) = P(X<=1/2)(Complément de 1/2<X) + P(1/2<X<3/2) Ce qui me donne P(1/2<X<3/2) = P(X<3/2) - F(1/2)

Et là, comme P(X<3/2) se trouve déjà entre 1 et 2 (2 exclu), cela revient au même que de trouver F(3/2) car 3/2-0+ est dans la même catégorie, c'est juste ?

Au final on trouve 1/2 (réponse du livre), j'ai obtenu la même réponse, mais mon raisonnement est correct ou c'est de la chance ?

Merci pour votre aide

[invite179e6258]

X n'est certainement pas une variable discrète.

[gg0]

Ce qu'il faut surtout comprendre, c'est que P(X<a) n'est pas la même chose que F_X(a)=P(X<a)+P(X=a). il y a égalité si et seulement si P(X=a)=0. C'est assez simple, non ?

[invitedd654e81]

gg0 : Il y a quelque chose du genre dans ma dernière réponse, je ne sais pas si j'ai compris mais c'est pour ca que je demande si mon raisonnement est correct.

[gg0]

Je ne me prononçais pas parce que je ne comprends pas tout de ce que tu dis.
En particulier, il faut éviter de parler de 0,999... pour passer à un calcul simple, en termes de limites :

(Rappel : les fonctions de répartition ne sont pas toujours continues, mais elles sont continues à droite.

Dans la suite, P(1/2) et P(3/2) sont nuls donc il suffit de calculer
P(1/2<X<3/2)=1/2<X<=3/2) = P(x<=3/2)-P(x<=1/2)=F(3/2)-F(1/2)

Cherche des preuves simples, basées sur des règles du cours, pas sur du baratin flou.

[gg0]

J'ai été interrompu, je ne peux plus modifier la fin de mon message, qui est peut-être un peu désobligeante : Je voulais dire "des mots flous".

Très cordialement.

[invitedd654e81]

gg0 : Tu poses (1/2<X<3/2)=1/2<X<=3/2) , mais pourquoi considères-tu que X<3/2 reviendras au même que X<=3/2 ? Plus haut ce que je disais c'est qu'en faisant la démarche avec la limite on arrivait à P(X<3/2) = F(3/2 - 0+), et comme (3/2 - 0+) se trouve dans la même catégorie que 3/2 (entre 1 et 2), on a que F(3/2) et F(3/2-0+) ont la même valeur. C'est peut-être mélangeant ce que j'ai écris parce qu'on est sur un forum et pas en train d'écrire sur une feuille, mais j'applique la démarche de mon cours et rien d'autre.

[gg0]

Dans la suite, P(1/2) et P(3/2) sont nuls ...

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[invitedd654e81]

Quelle suite ? On est quand même dans une situation avec des v.a discrètes, donc je ne crois pas que P(3/2) soit égal à 0 (c'est la définition d'une v.a continue non ?), tu as toi-même dis dans ta première réponse que F n'était pas continue et qu'il ne fallait pas utiliser la continuité (toutes les fonctions de répartitions dont traitent mes exos concernent les v.a discretes, au cas ou tu aurais cru que la deuxieme s'agissait d'une fonction continue). Je me mélange de plus en plus, est-ce que tu pourrais commenter ma dernière réponse s'il te plait ? Je veux au moins connaitre mon erreur.

[invite937a1923]

Bonsoir,

Il y a juste à appliquer la formule, non ? Par exemple, si b = 3/2 (ou 1,5), tu as juste à calculer F(b) = (1/2) + ((b-1)/4) = (1/2) + (1/8) = 5/8, ou alors je suis dans le vent et je n'ai pas bien saisi l'exercice ?

En principe, il suffit juste de décomposer en plage de valeurs comme indiqué, à savoir que :
- si P(1/2<b<1), alors, application de la formule n°2 (plage 2), soit F(b) = b/4
- si P(1=<b<3/2), alors, application de la formule n°3 (plage 3), soit F(b) = (1/2) + ((b-1)/4)

Je ne sais pas si il y a d'autre subtilité, mais je vois les choses comme ça. Tu peux écrire sous forme de limite également comme l'a fait gg0, c'est plus beau et plus compréhensible peut être.

[invite937a1923]

Enfin, j'ai écrit la même chose que dans l'exercice enfaite, donc je ne vois ce qu'il y a à faire réellement enfaite hormis de mettre ça sous forme de limite.

[gg0]

Bonsoir Chess_yuss.

Dans ce deuxième exercice, il ne s'agit pas d'une variable discrète (ni continue, d'ailleurs, elle est mixte) à moins que ton énoncé soit faux (mais je ne vois pas comment le corriger). b/4 n'est pas une constante; et varie de 0 pour 0 à 1/4 à la limite en 1.

Cordialement.