Equation différentielle (2)

[le fouineur]

Bonjour à tous,

je suis à nouveau bloqué sur la solution particulière d'une équation différentielle du deuxième ordre:

y''-4y'+4y=cosh(x) le polynôme caractéristique admet une solution double: r=2 donc la solution générale de l'équation sans second membre est:

()*, Lambda et Mu appartiennent à IR

J'ai essayé la méthode de la variation de la constante mais j'ai un terme devant se simplifier mais qui ne se simplifie pas: on pose y=g(x)*e^{x};il vient:

[g''(x)+4g'(x)+4g(x)]*-4*[g'(x)+g(x)]*+4*[g(x)]*=cosh(x)

il reste -4*g(x)* qui ne se simplifie pas....

Je sais qu'une bonne solution particulière s'écrit:y(x)= parce que je l'ai vérifiée
et la correction du livre donne y(x)=(1/9)*[5cosh(x)+4sinh(x)] qui est plus condensée.

Comment arriver à trouver ces solutions?par identification polynômiale, le second membre ne m'inspire guère....

Je vous remercie d'avance pour votre aide Cordialement le fouineur
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[Armen92]

Bonsoir,
Les deux fonctions étant linéairement indépendantes, il suffit de chercher la solution particulière sous la forme et d'identifier après report dans l'équation pour en déduire les deux constantes et .

[le fouineur]

Bonjour Armen92 et merci pour ta réponse,

Je vais essayer de faire ce que tu me suggères et je te rappellerai si je n'y arrive pas.

Dans le mème registre,as-tu une petite idée pour obtenir la solution du bouquin (Monnier),a savoir y(x)= [5*cosh(x)+4*sinh(x)]

Encore merci pour ton aide Cordialement le fouineur

[Armen92]

Dans le mème registre,as-tu une petite idée pour obtenir la solution du bouquin (Monnier),a savoir y(x)= [5*cosh(x)+4*sinh(x)]

Dans les notations que j'ai utilisées plus haut, l'identification donne et . Quand on rassemble le tout, on trouve bien

[A voir en vidéo sur Futura]

[le fouineur]

Bonjour Armen92 et merci pour ta réponse rapide,

Je suis à la recherche de la fonction inconnue à dériver deux fois et à réinjecter dans l'équation initiale que j'appellerai Q(x) telle que:

1*Q''(x)-4*Q'(x)+4*Q(x)=

Merci d'avance pour les réponses Cordialement le fouineur

[Armen92]

Désolé, je ne comprends pas votre question.

[Armen92]

Bonjour Armen92 et merci pour ta réponse rapide,

Je suis à la recherche de la fonction inconnue à dériver deux fois et à réinjecter dans l'équation initiale que j'appellerai Q(x) telle que:

1*Q''(x)-4*Q'(x)+4*Q(x)=

Merci d'avance pour les réponses Cordialement le fouineur

Compte tenu de la forme du second membre et du fait que les dérivées de la fonction exponentielle lui sont toutes proportionnelles, votre fonction est une combinaison linéaire . Les deux constantes et se trouvent en fonction de et par identification.

[le fouineur]

je cherche simplement l'expression de la fonction à identifier qui est Q(x) dans mon message précédent.

Merci de me répondre Cordialement le fouineur

[le fouineur]

Bonjour,j'ai refait le calculs:

1*sinh(x)-4*cosh(x)+4*sinh(x)=Ae^x+Be^-x ce qui donne:

=

On en déduit après calculs: A=1/2 et B=9/2 mais ce n'est pas bon pour B ou l'on doit trouver 1/18!!

Oû est donc mon erreur?

Merci d'avance pour vos réponses Cordialement le fouineur

[Armen92]

Je ne sais plus très bien où vous en êtes, mais de toute façon, les signes de votre dernier message sont incorrects : sinh c'est avec "-", cosh c'est avec "+"

[le fouineur]

Bonjour Armen92 et merci pour ta réponse


Désolé pour mon erreur mais si on change les signes je me retrouve avec A=1/2 et B=-9/2 ce qui est encore faux!!

En essayant avec les fonctions que tu suggères dans ton message et et après simplification je me retrouve avec a=A et 9b=B

Cordialement le fouineur

[gg0]

Le Fouineur,

je ne sais pas trop quel calcul tu fais, mais si tu veux que a e^x +b e-x soit solution, il faut poser :

puis identifier les coefficients de e^x et e^-x des deux côtés. On trouve la bonne solution tout de suite.

J'ai l'impression que tu fais des calculs sans savoir pourquoi (*), et en interprétant de travers les indications qui t'ont été données. revois les méthodes de résolution des équations différentielles (et aussi ce que veut dire "solution".

Cordialement.

(*) " je me retrouve avec a=A et 9b=B" !!! Il n'y a pas de A et de B dans l'équation.

[le fouineur]

Bonsoir gg0 et merci pour ta réponse rapide,

Je vais reprendre les calculs à 0 avec les indications que tu m'as fournies.

Cordialement le fouineur

[le fouineur]

Bonjour gg0 et Armen92 et merci pour votre patience,

Pour la solution particulière de l'équation différentielle,c'est réglé:j'ai trouvé les bons coefficients....

Reste le problème de la forme de la solution:il me faut démontrer que:

J'ai essayé de le démontrer en partant de la première ou de la deuxième expression mais j'aboutit à des absurdités.Existe t'il une méthode pour traiter ce genre de formule?Si oui, s'il vous plait mettez-moi sur la piste....

avec mes remerciements Cordialement le fouineur

[inviteea028771]

Reste le problème de la forme de la solution:il me faut démontrer que:

J'ai essayé de le démontrer en partant de la première ou de la deuxième expression mais j'aboutit à des absurdités.Existe t'il une méthode pour traiter ce genre de formule?Si oui, s'il vous plait mettez-moi sur la piste....

Pourtant c'est tout sauf compliqué :

5cosh(x)+4sinh(x) = 5*( e^x + e^(-x) )/2 + 4*(e^x - e^(-x))/2 = 9/2 e^x + 1/2 e^(-x)

[invite7c37b5cb]

Bonjour.
Pour la solution particulière Yp=a*coshx+b*sinhx ou a=5/9;b=4/9.

[le fouineur]

Bonjour Tryss et merci de ta réponse rapide,

Souvent quand le problème est simple,j'ai le défaut de ne pas voir l'évidence...

encore merci pour ton aide Cordialement le fouineur