Polynomes et base

[invite4c80defd]

Bonsoir,
Je fait actuellement un exercice qui consiste à dire si une famille est une base de R₃[x]
La famille est {P0,P1,Q1,Q2}

avec :
P0=1
P1=x

Q1=x³+2x-1
Q2=(x-1)(3x+2)

Je suis arrivé à montrer que cette famille est une famille libre de R₃[x]
Il me faudrait trouver montrer qu'elle est génératrice (ou non) mais je ne sais pas comment procéder car d'habitude, on avait des vecteurs et non des polynomes...


le deuxieme partie est :
Soit la famille {P0,P1,P2,P3,Q1,Q2} , on me demande son rang.J'ai bien regardé" dans le cours, mais n'étant pas terminé, je n'ai rien trouvé pouvant m'aider la dessus.
(avec
P2=x^2
P3=x^3 )

Merci pour vos conseils
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[inviteea028771]

Il me faudrait trouver montrer qu'elle est génératrice (ou non) mais je ne sais pas comment procéder car d'habitude, on avait des vecteurs et non des polynomes...

Pour l'exercice, il suffit de se rappeler que si une famille de 4 vecteurs est libre, alors elle génère un espace vectoriel de dimension 4



Par contre, il faut bien comprendre ce qu'est un vecteur. Un polynôme est un vecteur (vu comme élément de R3[X])

[invite4c80defd]

Donc:
si j'ai une famille de 4 vecteurs libres, alors cette famille génère un espace de dimension 4, et donc j'ai une famille génératrice de R₃[X]
ayant une famille libre et génératrice de R₃[X], cette famille est donc une base de R₃[X]
Pour le rang: c'est la dimension de l'espace engendré par ces 4 vecteurs donc, quatre ici ?


Merci

[invite8ac20103]

Bonjour,


Ce que te dis tryss, c'est que Dim R³[X] = 4 donc une famille libre de 4 vecteur suffit pour dire qu'elle forme une base de R³[X].

Donc Dim R³[X]= 4 , 4 vecteurs libre, c'est donc une base, et de ce fais elle génère R³[X]

Pour le rang, en effet ici tu as une famille de 4 vecteurs libres donc elle est de rang 4.

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4c80defd]

mais d'apres l'énoncé, on ne sait pas que Dim R3[X] = 4 si ?

Merci

[Seirios]

Tu peux vérifier facilement que est une base de , et donc que est de dimension quatre.

[invite4c80defd]

ok merci je crois que c'et bon pour la premier partie.

Pour la deuxieme partie :
Soit la famille {P0,P1,P2,P3,Q1,Q2} , on me demande son rang.

il faudrait donc que je montre que j'ai une base, et le nombre de vecteurs de cette base me donne la dimension de ce sous espace vectoriel. et donc, si j'ia la dimension de ce SEV, j'ai le rang de la famille (rang de la famille= dimension du SEV ) ?

[inviteea028771]

mais d'apres l'énoncé, on ne sait pas que Dim R3[X] = 4 si ?

Oui, j'ai considéré que R3[X] était connu :
- qu'on savait que c'était un espace vectoriel
- qu'on connaissait une base (typiquement la base canonique) et donc sa dimension

faudrait donc que je montre que j'ai une base, et le nombre de vecteurs de cette base me donne la dimension de ce sous espace vectoriel. et donc, si j'ia la dimension de ce SEV, j'ai le rang de la famille (rang de la famille= dimension du SEV ) ?

Ça risque d'être difficile d'avoir une base formée de 6 vecteurs dans un espace de dimension 4


Mais oui, l'idée c'est de déterminer quel est le sous espace vectoriel engendré par cette famille (ici ça n'est pas trop difficile en te servant de la question 1)

[invite4c80defd]

peut etre que si je dit que ma famille {P0,P1,Q1,Q2} est génératrice de R3[X] , (comme c'est une base de R3[X]), alors si je rajoute deux vecteurs P2 et P3 , la famille est encore génératrice de R3[X] ?

[invite4c80defd]

ça irait si je dit cela ?

Merci

[Seirios]

Si tu arrives à le montrer, c'est que c'est correct.

[invite4c80defd]

oui enfin....je prefererais que vous confimiez ma proposition mesage # 9, car il m'arrive de faire de raisonnements totalement faux, alors...

[inviteea028771]

Oui, ta proposition du message 9 est correcte, mais il est important de comprendre pourquoi


Ca se dit en quelques lignes, mais c'est important de bien avoir ça en tête :

x appartient à l'espace vectoriel engendré par {u1,u2,...,un} si et seulement si x s'écrit comme une combinaison linéaire finie d'éléments de {u1,u2,...,un}


Donc si on a un x qui appartient à vect{u1,u2,...,un}, il s'écrit comme une combinaison linéaire finie d'éléments de {u1,u2,...,un}, donc comme une combinaison linéaire finie d'éléments de {u1,u2,...,un} U {v1,v2,...,vm} = {u1,u2,...,un,v1,v2,...,vm} (il suffit de prendre la même combinaison linéaire)

Et donc x appartient à vect{u1,u2,...,un,v1,v2,...,vm }


(vect{...} est une notation pour dire "espace vectoriel engendré par {...}" )

Alors oui, c'est trivial, néanmoins, il est fondamental de bien avoir ça en tête, que si une famille A de vecteurs est inclue dans une famille B, alors l'espace vectoriel engendré par A est inclus dans l'espace vectoriel engendré par B.



Ici, si on veut rédiger explicitement la deuxième partie par cette méthode:

On a

Donc

Or d'après 1),

Et de plus

Donc

C'est à dire



Cette rédaction est très (trop? ) détaillée, pour bien expliciter le raisonnement que tu as probablement fait dans ta tête

[PlaneteF]

... ben tu peux aussi rajouter pour répondre à la question :

[invite4c80defd]

Merci beaucoup à tous les deux, c'est plus que sympa ! la rédaction était claire: tout est compris

Merci

[invite8ac20103]

De façon général, pour déterminer le rang d'une famille de vecteurs, tu regarde le nombre maximal de vecteurs linéairement indépendants.

Cdt