approximation et fractions continues

[ulyss]

Bonjour,

Je pensais que les fractions réduites d'un développement en fraction continue permettaient d'obtenir les meilleures approximations rationnelles successives d'un nombre quelconque.
En partant de A=23/16 et en cherchant des "fractions approchées" de dénominateur inférieur à 16, j'ai réalisé le tableau ci-dessous.
Les réduites successives de A sont 1 ; 3/2 et 10/7 . Or je me suis rendu compte que le la fraction 13/9 donnait une meilleure valeur approchée de A que sa dernière réduite (10/7)
D'après ce que j'ai compris les réduites successives donnent les meilleures approximations pour les irrationnels, mais apparemment ce n'est pas le cas (ou çà n'a pas lieu d'être) pour les rationnels, ou me serais-je trompé?
On connaît pourtant un cas historique d'utilisation d'approximation d'un rationnel par les réduites (utilisé par Huygens pour construire une horloge astronomique) cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue
Je comptais utiliser cela dans le cadre de conception d'exercices pour le secondaire (en simplifiant les notions), mais si ce n'est pas vérifié çà ne va pas le faire!!

fraction approchée	Erreur (valeur absolue)
1	0,4375
3/2	0,0625
4/3	0,104166667
6/4	0,0625
7/5	0,0375
9/6	0,0625
10/7	0,008928571
12/8	0,0625
13/9	0,006944444
14/10	0,0375
16/11	0,017045455
17/12	0,020833333
19/13	0,024038462
20/14	0,008928571
22/15	0,029166667
23/16	0

Merci d'avance d'éclairer ma lanterne (désolé pour la longueur de ces petites données)
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[inviteea028771]

Oui, dans le cadre des rationnels, si le dernier terme de la réduite est paire, il y a parfois une bonne approximation après l'avant dernière réduite.

Si le dernier terme du développement en fraction limité est paire, alors en prenant la moitié, ça peut être une bonne approximation (ici c'est le cas) :
http://en.wikipedia.org/wiki/Continu...approximations

1=[1;], 3/2 = [1;2], 10/7 = [1;2,3], 13/9 = [1;2,3,1], 23/16 = [1;2,3,2]

[ulyss]

Merci pour ta réponse Tryss!
Génial!
En fait que le nombre soit rationnel ou pas, les meilleures approximations rationnelles successives sont données soit par les développements réduits en fraction continue; soit par des "transformations" de ces formes réduites! (comme indiqué dans ta référence.)

Pour mon exemple les règles donnent en plus [1;2;2] = 7/5 qui est la meilleure approx a/b pour b<6 et que je retrouve bien!

Bon ben du coup je vais pouvoir concevoir un petit "Devoir Maison" grâce à çà! Je vais juste dire aux élève que les formes réduites donnent de très bonnes approximations et c'est tout.
Encore merci.