Bonjour.
J'ai quelques questions, et un petit problème à vous soumettre.
Je m'intéresse un peu à la théorie des ensembles ZF, et je suis tombé (sur Wikipedia) sur l'affirmation que dans ZF, l'axiome du choix était équivalent à l'énoncé "pour tout couple (A,B) d'ensembles non-vides, il existe une injection de A sur B ou bien il existe une injection de B sur A".
Comme je croyais que c'était vrai indépendamment de AC cela m'a un peu étonné. En fait, c'est un résultat assez proche de l'axiome du choix intuitivement puisqu'il permet de choisir des éléments dans l'ensemble d'arrivée sans avoir a priori de moyen de les distinguer.
J'ai voulu le démontrer de manière "directe", c'est-à-dire d'une manière qui fait un lien fort entre le sens de chaque énoncé; notamment, je ne voulais pas utiliser de résultats sur les ordinaux.
Cependant je ne suis pas arrivé à le prouver directement, ni dans un sens ni dans l'autre d'ailleurs.
Par exemple, un obstacle: je considère deux ensembles non vides A et I et je suppose qu'il n'existe pas d'injection de A sur I.
Une fonction de choix sur une partition de A indexée par I serait une injection de I sur A mais je ne sais pas comment justifier l'existence d'une partition de A (ça semble même impossible sans AC). En fait, rien que justifier qu'il existe une union M d'ensembles indexée par I tel que U M = A, j'y arrive pas.
Etudier les contraposées ne m'a pas amené à grand chose vu qu'il faut quand-même trouver comment à partir de deux ensembles se retrouver dans une configuration "propice à faire apparaître des fonctions de choix" de l'un vers l'autre.
Bref, je suis passé à autre chose: essayer de montrer que cet énoncé est équivalent au théorème de Zermelo. C'est assez facile si on utilise des résultats sur les ordinaux.
Mais sans ces résultats, le sens [énoncé ==> Zermelo] m'est resté inaccessible.
Le but de tout ça est de comprendre comment cette équivalence qui semble "simple" peut s'expliquer dans ZC sans l'axiome de l'infini, et donc sans la preuve de l'existence des ordinaux infinis, et donc sans pas mal de résultats bien pratiques.
Cela peut paraître étrange de vouloir démontrer une équivalence portant sur des objets qui n'existent pas nécessairement dans les modèles, mais en fait c'est assez intéressant, de traiter à part les contributions de tel ou tel axiome.
Voici les questions:
1)Il est assez probable que j'oublie que sans axiome de l'infini, il y a plein de trucs qu'on ne peut pas faire et que j'ai fait. Déjà, est-ce que ZF sans l'axiome de l'infini démontre cette équivalence/implication?
2)Si oui, suis-je passé à côté de quelque chose de simple dans la recherche de la démonstration directe [AC <==> énoncé sur les injections] ?
3)Avez-vous des idées pour démontrer l'implication [énoncé ==> Zermelo] sans utiliser l'axiome de l'infini (si c'est possible donc)?
4)Des incohérences ou faiblesses de démarche/raisonnement?
Cordialement.
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Envoyé par Mocassins 
par exemple).