Fonctions de choix sur sous-familles finies

[invitef57d2659]

Je mattais sur Wikipédia la démonstration de l'implication "Lemme de Zorn" => "Axiome du Choix" (en effet je me demandais s'il était possible d'avoir le théorème de Zorn -que je trouve magnifique, tellement c'est presque une récurrence mais sur n'importe quel ensemble inductif- sans admettre l'axiome du choix -que je trouve nettement moins beau que Zorn-).
La démonstration sur Wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix dit que "il est possible de définir sans l'axiome du choix une fonction de choix sur toute sous-famille finie de X".

D'où vient cette affirmation ? S'agit-il d'un axiome du choix "faible" ou de quelque chose de démontré ?

Merci d'avance.
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[Médiat]

D'où vient cette affirmation ? S'agit-il d'un axiome du choix "faible" ou de quelque chose de démontré ?

Le fait que le produit d'une famille finie d'ensembles non vides est non vide est un théorème de ZF : avec 2 ensembles tu peux contruire leur union, dans l'union tu peux construire des couples dont le premier élément est dans le premier ensemble et le deuxième élément dans le deuxième ensemble, c'est à dire le produit de deux ensembles non vide qui est non vide (facile ). Ce que l'on vient de faire pour 2 on peut l'itérer pour une famille finie ; et donc le produit d'une famille finie d'ensembles non vides est non vide.

[invitef57d2659]

Le fait que le produit d'une famille finie d'ensembles non vides est non vide est un théorème de ZF : avec 2 ensembles tu peux contruire leur union, dans l'union tu peux construire des couples dont le premier élément est dans le premier ensemble et le deuxième élément dans le deuxième ensemble, c'est à dire le produit de deux ensembles non vide qui est non vide (facile ). Ce que l'on vient de faire pour 2 on peut l'itérer pour une famille finie ; et donc le produit d'une famille finie d'ensembles non vides est non vide.

En gros (sauf si j'ai mal compris) on accepte quand même qu'il existe une fonction de choix pour tout ensemble contenant un seul ensemble non vide, ie que pour tout ensemble non vide il est possible de choisir "au pif" un de ses éléments.
C'est ça qui me pose problème...

ça veut dire quelque part qu'on accepte une version (trèèèèès) réduite de l'axiome du choix, ie pour un seul ensemble.

[Médiat]

ça veut dire quelque part qu'on accepte une version (trèèèèès) réduite de l'axiome du choix, ie pour un seul ensemble.

Je crois que tu fais une petite confusion, l'axiome du choix ne dit pas comment construire une fonction de choix, mais affirme qu'il en existe une, autrement dit qu'il existe un ensemble qui est une fonction de choix pour la famille considérée.
Pour un ensemble, la question n'est pas de déterminer un élément dans cet ensemble mais de dire qu'il existe un ensemble qui choisisse un élément dans cet ensemble, et bien chaque élément de cet ensemble (s'il est non vide) est une fonction de choix pour cet ensemble.
Je l'écris autrement :


et bien le y de la formule précédente fait un choix dans x et il existe, on n'en demande pas plus.

Je ne sais pas comment faire ce choix, mais je sais qu'il existe une fonction qui le fait.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef57d2659]

Hum oui...
En fait c'est pas que je m'imaginais que l'axiome du choix donnait un truc au pif mais supputait qu'on pouvait le faire.

En fait je crois que j'ai compris et que le nom de l'axiome du choix m'a induit en erreur : il n'est pas question de choix dans cet axiome mais uniquement d'existence.


Et oui, c'est vrai que pour une famille finie, s'il s'agit juste d'existence c'est assuré ^^

On devrait renommer l'axiome du choix !

(Merci)

[Médiat]

il n'est pas question de choix dans cet axiome mais uniquement d'existence.

Il s'agit de l'existence d'un choix.