[Probas] Convergence uniforme de probabilités

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

j'ai lu que dans certains cas particuliers, on pouvait approximer une loi par une autre, mais sans plus de détails.

Je prends un exemple précis :
j'ai démontré que la loi binomiale de paramètre converge uniformément vers la loi de Poisson de paramètre (en supposant de plus que en ).

Est-ce que cela peut servir en pratique à "remplacer la loi binomiale par la loi de Poisson" ?
(Peut-on dire, dans le cas où la probabilité de succès est très faible, que suivre une loi binomiale, c'est comme suivre une loi de Poisson ?)

Faut-il pour ce genre d'approximation un type de convergence particulier (ici, c'est une convergence uniforme, mais on pourrait n'avoir qu'une convergence faible, une convergence simple...) ?

Je vous remercie, et veuillez excuser mon ignorance sur ce sujet



Romain
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[invite986312212]

le mode de convergence auquel tu penses est la convergence en loi. C'est ce qui permet de "remplacer une loi par une autre", par exemple en statistique.

[inviteaeeb6d8b]

Merci de ta réponse !

La convergence en loi n'est pas employée pour des suites de variables aléatoires ? ( converge en loi vers Z si la loi de converge faiblement vers la loi de Z.) J'imagine qu'on peut assimiler les deux...

Ici, j'ai une convergence uniforme, donc ça ne permet pas de remplacer la loi binomiale par une loi de Poisson (à moins de démontrer qu'il y a convergence faible également), c'est bien ça ?

Et là, j'en demande beaucoup : tu n'aurais pas un exemple concret à me proposer ? (avec convergence faible démontrable...)

Encore merci

Romain

[inviteaeeb6d8b]

Je reviens...

je viens de lire ceci :

La loi Binomiale peut être approximer (référence statistique) quand et avec par la loi de Poisson

Il y a certainement convergence faible également...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaeeb6d8b]

Mouais, on sent que je découvre un peu tout ça

Si suit une loi binomiale de paramètre avec . Je note
Soit une autre v.a. qui suit une loi de Poisson de paramètre . Je note

Soit .


Or, comme j'ai la convergence uniforme :


donc en particulier :

ce qui est équivalent à la convergence en loi/convergence faible...

J'ai bon ?

Romain

EDIT : mise en forme

[invite986312212]

ah oui, pardon, j'ai tendance à penser variables aléatoires, mais si on parle des probabilités elles-mêmes, il s'agit de la convergence étroite (convergence en loi des v.a. = convergence étroite des lois images).
pour ce qui est de savoir à partir de quand on peut utiliser une loi approchée au lieu de la loi exacte, le plus grand laxisme règne chez les utilisateurs des statistiques, et pour certains l'infini commence vers 4 ou 5 ...

[inviteaeeb6d8b]

ah oui, pardon, j'ai tendance à penser variables aléatoires, mais si on parle des probabilités elles-mêmes, il s'agit de la convergence étroite (convergence en loi des v.a. = convergence étroite des lois images).

Ah, ce n'est pas grave ce que tu appelles convergence étroite, je crois que c'est ce que j'appelle convergence faible

pour ce qui est de savoir à partir de quand on peut utiliser une loi approchée au lieu de la loi exacte, le plus grand laxisme règne chez les utilisateurs des statistiques, et pour certains l'infini commence vers 4 ou 5 ...

Bah justement, je me dirige vers les statistiques (mais pas en tant qu'utilisateur)

Tu confirmes mon résultat obtenu au post précédent ? (convergence uniforme implique convergence faible/étroite)


Romain

[invite986312212]

oui ça marche. En fait la convergence uniforme, ou même la convergence simple sur tout les éléments de la tribu, n'est pas très utilisée. C'est une propriété trop forte sans doute.

et tu as raison étroite = faible