convergence uniforme

invite769a1844 · 16/01/2008, 15h05

Bonjour, j'ai un petit souci avec cette notion.

Si on considère un espace topologique X et un espace métrique Y, et des applications $\text{[math]}$ .

On dit que $\text{[math]}$ converge uniformément vers $\text{[math]}$ si pour tout $\text{[math]}$ , il existe un entier $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ , et pour tout $\text{[math]}$ , on ait $\text{[math]}$ .

Si maintenant je considère une famille de fonctions $\text{[math]}$ (I quelconque) de X dans Y.

Comment on définit la convergence uniforme de $\text{[math]}$ vers f, suivant une base de filtre $\text{[math]}$ ?

Merci.

invite769a1844 · 16/01/2008, 15h24

Je pensais (mais je ne suis pas sûr) à ça:

$\text{[math]}$ converge uniformément vers $\text{[math]}$ suivant $\text{[math]}$ si pour tout $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ , et pour tout $\text{[math]}$ , on ait $\text{[math]}$ .

Ca me semble suivre le même modèle que la définition pour les suites.

invite57a1e779 · 16/01/2008, 15h37

Envoyé par rhomuald

Bonjour, j'ai un petit souci avec cette notion.

Si on considère un espace topologique X et un espace métrique Y, et des applications $\text{[math]}$ .

On dit que $\text{[math]}$ converge uniformément vers $\text{[math]}$ si pour tout $\text{[math]}$ , il existe un entier $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ , et pour tout $\text{[math]}$ , on ait $\text{[math]}$ .

Si maintenant je considère une famille de fonctions $\text{[math]}$ (I quelconque) de X dans Y.

Comment on définit la convergence uniforme de $\text{[math]}$ vers f, suivant une base de filtre $\text{[math]}$ ?

Merci.

Telle que je comprends la question :
pour tout $\text{[math]}$ , il existe un ensemble $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ , et pour tout $\text{[math]}$ , on ait $\text{[math]}$ .

invite769a1844 · 16/01/2008, 15h50

Envoyé par God's Breath

Telle que je comprends la question :
pour tout $\text{[math]}$ , il existe un ensemble $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ , et pour tout $\text{[math]}$ , on ait $\text{[math]}$ .

On est bien d'accord alors, et $\text{[math]}$ est une base de filtre sur $\text{[math]}$ .

Et je peux aussi la traduire de manière équivalente de cette manière:

On considère $\text{[math]}$ l'ensemble des applications de X dans Y muni de la toplogie de la convergence uniforme.

Se donner une famille $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , c'est comme se donner une application $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ converge uniformément vers $\text{[math]}$ suivant $\text{[math]}$ (base de filtre sur $\text{[math]}$ ) si pour tout $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ (boule ouverte de centre $\text{[math]}$ et de rayon $\text{[math]}$ pour la distance uniforme), autrement dit pour tout $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ .

C'est bien ça?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite57a1e779 · 16/01/2008, 16h13

Envoyé par rhomuald

On est bien d'accord alors, et $\text{[math]}$ est une base de filtre sur $\text{[math]}$ .

Et je peux aussi la traduire de manière équivalente de cette manière:

On considère $\text{[math]}$ l'ensemble des applications de X dans Y muni de la toplogie de la convergence uniforme.

Se donner une famille $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , c'est comme se donner une application $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ converge uniformément vers $\text{[math]}$ suivant $\text{[math]}$ (base de filtre sur $\text{[math]}$ ) si pour tout $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ (boule ouverte de centre $\text{[math]}$ et de rayon $\text{[math]}$ pour la distance uniforme), autrement dit pour tout $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ .

C'est bien ça?

On ne pourrait mieux le dire.

invite769a1844 · 16/01/2008, 16h26

D'accord, et maintenant dans un contexte plus local:

Soit $\text{[math]}$ définie sur un intervalle $\text{[math]}$ , et soit $\text{[math]}$ un point intérieur à $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ est un réel strictement positif on pose $\text{[math]}$ .

1) Montrer qu'il existe un $\text{[math]}$ assez petit pour que $\text{[math]}$ soit défini sur $\text{[math]}$ dès que $\text{[math]}$ (ça c'est ok).

2) Montrer que $\text{[math]}$ est continue au point $\text{[math]}$ si et seulement si $\text{[math]}$ converge uniformément sur $\text{[math]}$ vers la fonction constante égale à $\text{[math]}$ , lorsque $\text{[math]}$ .

Dans ce cas, on a bien $\text{[math]}$

et donc il faut que je montre l'équivalence entre l'un de ses définitions et la continuité de f.

invite57a1e779 · 16/01/2008, 16h33

Envoyé par rhomuald

D'accord, et maintenant dans un contexte plus local:

Soit $\text{[math]}$ définie sur un intervalle $\text{[math]}$ , et soit $\text{[math]}$ un point intérieur à $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ est un réel strictement positif on pose $\text{[math]}$ .

1) Montrer qu'il existe un $\text{[math]}$ assez petit pour que $\text{[math]}$ soit défini sur $\text{[math]}$ dès que $\text{[math]}$ (ça c'est ok).

2) Montrer que $\text{[math]}$ est continue au point $\text{[math]}$ si et seulement si $\text{[math]}$ converge uniformément sur $\text{[math]}$ vers la fonction constante égale à $\text{[math]}$ , lorsque $\text{[math]}$ .

Dans ce cas, on a bien $\text{[math]}$

et donc il faut que je montre l'équivalence entre l'un de ses définitions et la continuité de f.

Oui, et tu t'apercevras vite qu'il s'agit de la lecture, en terme de convergence uniforme suivant ta base de filtre, de la définition usuelle de la continuité.

invite769a1844 · 16/01/2008, 18h24

ok je le tenterais comme ça alors:

Sens direct: $\text{[math]}$ est continue au point $\text{[math]}$ ,

Soit $\text{[math]}$ , par hypothèse il existe $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , on ait $\text{[math]}$ .

On peut supposer SPDG que $\text{[math]}$ .

Pour tout $\text{[math]}$ , et pour tout $\text{[math]}$ , on a

$\text{[math]}$

.

Comme $\text{[math]}$ , on a bien $\text{[math]}$ ,

donc $\text{[math]}$ converge uniformément vers $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ lorsque $\text{[math]}$ .

Sens réciproque: $\text{[math]}$ converge uniformément sur $\text{[math]}$ vers la fonction constante égale à $\text{[math]}$ , lorsque $\text{[math]}$ .

Soit $\text{[math]}$ . Par hypothèse, il existe $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ et pour tout $\text{[math]}$ on ait $\text{[math]}$ .

On prend $\text{[math]}$ , pour tout $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ .

Et donc $\text{[math]}$ ,

d'où la continuité de $\text{[math]}$ au point $\text{[math]}$ .

invite57a1e779 · 16/01/2008, 20h38

L'idée c'est de réécrir la relation $\text{[math]}$ sous la forme $\text{[math]}$ .

La définition de la continuité de $\text{[math]}$ est équivalente à son écriture en $\text{[math]}$ que l'on interprète comme la convergence uniforme suivant un filtre...

invite769a1844 · 16/01/2008, 20h52

Envoyé par God's Breath

L'idée c'est de réécrir la relation $\text{[math]}$ sous la forme $\text{[math]}$ .

La définition de la continuité de $\text{[math]}$ est équivalente à son écriture en $\text{[math]}$ que l'on interprète comme la convergence uniforme suivant un filtre...

Effectivement ça se voit plus facilement sous cette forme, je ne l'avais pas vu comme ça,
merci .

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