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convergence uniforme



  1. #1
    rhomuald

    convergence uniforme


    ------

    Bonjour, j'ai un petit souci avec cette notion.

    Si on considère un espace topologique X et un espace métrique Y, et des applications .

    On dit que converge uniformément vers si pour tout , il existe un entier tel que pour tout , et pour tout , on ait .

    Si maintenant je considère une famille de fonctions (I quelconque) de X dans Y.

    Comment on définit la convergence uniforme de vers f, suivant une base de filtre ?

    Merci.

    -----

  2. #2
    rhomuald

    Re : convergence uniforme

    Je pensais (mais je ne suis pas sûr) à ça:

    converge uniformément vers suivant si pour tout , il existe tel que pour tout , et pour tout , on ait .

    Ca me semble suivre le même modèle que la définition pour les suites.

  3. #3
    God's Breath

    Re : convergence uniforme

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    Bonjour, j'ai un petit souci avec cette notion.

    Si on considère un espace topologique X et un espace métrique Y, et des applications .

    On dit que converge uniformément vers si pour tout , il existe un entier tel que pour tout , et pour tout , on ait .

    Si maintenant je considère une famille de fonctions (I quelconque) de X dans Y.

    Comment on définit la convergence uniforme de vers f, suivant une base de filtre ?

    Merci.
    Telle que je comprends la question :
    pour tout , il existe un ensemble de tel que pour tout , et pour tout , on ait .

  4. #4
    rhomuald

    Re : convergence uniforme

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Telle que je comprends la question :
    pour tout , il existe un ensemble de tel que pour tout , et pour tout , on ait .
    On est bien d'accord alors, et est une base de filtre sur .

    Et je peux aussi la traduire de manière équivalente de cette manière:

    On considère l'ensemble des applications de X dans Y muni de la toplogie de la convergence uniforme.

    Se donner une famille de , c'est comme se donner une application définie par .

    converge uniformément vers suivant (base de filtre sur ) si pour tout , il existe tel que (boule ouverte de centre et de rayon pour la distance uniforme), autrement dit pour tout , on a .


    C'est bien ça?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    God's Breath

    Re : convergence uniforme

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    On est bien d'accord alors, et est une base de filtre sur .

    Et je peux aussi la traduire de manière équivalente de cette manière:

    On considère l'ensemble des applications de X dans Y muni de la toplogie de la convergence uniforme.

    Se donner une famille de , c'est comme se donner une application définie par .

    converge uniformément vers suivant (base de filtre sur ) si pour tout , il existe tel que (boule ouverte de centre et de rayon pour la distance uniforme), autrement dit pour tout , on a .


    C'est bien ça?
    On ne pourrait mieux le dire.

  7. #6
    rhomuald

    Re : convergence uniforme

    D'accord, et maintenant dans un contexte plus local:

    Soit définie sur un intervalle , et soit un point intérieur à . Si est un réel strictement positif on pose .

    1) Montrer qu'il existe un assez petit pour que soit défini sur dès que (ça c'est ok).

    2) Montrer que est continue au point si et seulement si converge uniformément sur vers la fonction constante égale à , lorsque .

    Dans ce cas, on a bien

    et donc il faut que je montre l'équivalence entre l'un de ses définitions et la continuité de f.

  8. #7
    God's Breath

    Re : convergence uniforme

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    D'accord, et maintenant dans un contexte plus local:

    Soit définie sur un intervalle , et soit un point intérieur à . Si est un réel strictement positif on pose .

    1) Montrer qu'il existe un assez petit pour que soit défini sur dès que (ça c'est ok).

    2) Montrer que est continue au point si et seulement si converge uniformément sur vers la fonction constante égale à , lorsque .

    Dans ce cas, on a bien

    et donc il faut que je montre l'équivalence entre l'un de ses définitions et la continuité de f.
    Oui, et tu t'apercevras vite qu'il s'agit de la lecture, en terme de convergence uniforme suivant ta base de filtre, de la définition usuelle de la continuité.

  9. #8
    rhomuald

    Re : convergence uniforme

    ok je le tenterais comme ça alors:

    Sens direct: est continue au point ,

    Soit , par hypothèse il existe tel que pour tout tel que , on ait .

    On peut supposer SPDG que .

    Pour tout , et pour tout , on a

    .

    Comme , on a bien ,

    donc converge uniformément vers sur lorsque .



    Sens réciproque: converge uniformément sur vers la fonction constante égale à , lorsque .

    Soit . Par hypothèse, il existe tel que pour tout et pour tout on ait .

    On prend , pour tout tel que , on a , avec .

    Et donc ,

    d'où la continuité de au point .

  10. #9
    God's Breath

    Re : convergence uniforme

    L'idée c'est de réécrir la relation sous la forme .

    La définition de la continuité de est équivalente à son écriture en que l'on interprète comme la convergence uniforme suivant un filtre...

  11. #10
    rhomuald

    Re : convergence uniforme

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    L'idée c'est de réécrir la relation sous la forme .

    La définition de la continuité de est équivalente à son écriture en que l'on interprète comme la convergence uniforme suivant un filtre...
    Effectivement ça se voit plus facilement sous cette forme, je ne l'avais pas vu comme ça,
    merci .

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