Probabilités

[invite66d75f15]

Bonjour, j'ai un problème de probabilité à résoudre et je suis jamais sûre de moi....j'ai fini l'exercice, mais j'aimerais votre avis.
1) Une urne contient k boules rouges et N-k boules blanches ( . On tire successivement et avec remise n boules dans cette urne. Choisissez un modèle pour représenter cette expérience aléatoire puis calculer la probabilité de n'obtenir que des boules rouges.

J'ai toujours du mal avec les modélisations. D'abord j'ai trouvé que la probabilité qu'une boule rouge soit tirée est k/N, donc la proba que n boules rouges soient tirées est . Après j'ai essayé de modéliser, donc j'ai considéré l'ensemble des tirages possibles, l'évènement "tirer une boule rouge" comme un succès, avec une probabilité de succès p=k/N, et la variable X="nombre de boules rouges tirées" et on se retrouve donc avec la variable X qui suit une loi binômiale. D'où
Donc

Sauf que ce n'est pas encore tout à fait modélisé je trouve....je veux dire, en général, quand on nous demande de modéliser une expérience, c'est pour calculer la probabilité recherchée avec la formule , et ça je n'y arrive pas.


2)On dispose de N urnes numérotées de 1 à N. L'urne numéro k contient k boules rouges et N-k boules blanches. Un entier n étant fixé, on choisit au hasard (de façon équiprobable) une urne dans laquelle on tire successivement et avec remise n boules.
a)Déterminer la probabilité pour que la n-ième boule tirée soit rouge sachant que les n-1 premières boules tirées étaient toutes rouges.

Ici, j'ai noté Uk l'évènement "on choisit l'urne numéro k", avec P(Uk)=1/N
puis j'ai noté Ri l'évènement "Les i premières boules tirées sont rouges"
Avec la question précédente, on sait que (en effet, dire que les i premières bouls tirées sont rouges c'est dire que sur i boules tirées, elles sont toutes rouges, ce qui est exactement la question précédente).
Comme les forment un système complet d'évènements, on peut utiliser la formule des probabilités totales qui donne:
.

Or et
Donc

Je ne sais pas s'il faut que je développe le calcul ou si je peux m'arrêter là.

b)Calculer la limite quand N tend vers l'infini de la probabilité précédente. (On pourra penser aux sommes de Riemann)

Ici j'utilise simplement le théorème sur les sommes de Riemann: comme les fonction et sont continues sur [0;1], on a:

et
Donc

voilà voilà, j'attends vos avis...
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[gg0]

Bonjour.

Pour la modélisation, il faut s'interroger sur ce qu'est l'expérience complète (toi, tu as considéré un tirage, pas le tirage de n boules). Ici, dans le 1, en numérotant les boules de 1 à k pour les rouges et de k+1 à N pour les blanches, un tirage est une liste de numéros de boules, une suite de nombres entre 1 et N. Il y a donc Nⁿ tirages possibles. Les cas favorables sont les suites de numéros compris entre 1 et k, soit kⁿ cas favorables : On retrouve bien ton résultat qui correspond à une utilisation de probabilité produit.
Ta modélisation avec la loi binomiale en est encore une autre, souvent utile.

Pour la suite, je n'ai pas remarqué de problème.

Cordialement.

[invite66d75f15]

Merci beaucoup! (désolée pour le temps de réponse, mais j'ai été pas mal occupée...communion, anniversaire, tout ça...)

J'avais du mal à voir pourquoi il y a Nⁿ tirages possibles, mais je crois que c'est clair maintenant: comme c'est avec remise, à chaque fois qu'on tire une boule il y a N possibilités. Comme on tire n boules, il y a donc Nⁿ tirages possibles.

Mon problème venait du fait que je voyais un tirage comme un n-uplet de boules tirées dans un ensemble de cardinal N, ce qui correspond exactement à un arrangement de n éléments parmi N. Or, dans mon cours, il est écrit ça:
"Le nombre d'arrangement de n éléments d'un ensemble à N éléments est (si N>n)
et je ne vois pas pourquoi ce n'est pas bon.