Bonjour
Ci joint le sujet
Pour les questions 1,2 et 3 a), c'est bon.
Pour la dernière 3 b), je ne comprends pas ce qu'on demande car le reste de tout entier (2^n est aussi un entier) modulo 9 est dans
{0;1;2;3;4;5;6;7;8}
Merci pour vos commentaires
La question 3b demande d'exprimer 2^n mod 9 en fonction de n ; la réponse découle directement du résultat de 3a et de la réponse à la question 1...
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Le reste de 2^n n'est pas le reste "de tout entier", c'est celui de 2^n.
Oui, le reste de 2^n n'est pas le reste "de tout entier", c'est celui de 2^n. (je n'ai pas fait attention)
D'après la question 1°
n=0, 2^0 # 1(9), reste=1 le symbole # (congru )
n=1, 2^1 # 2(9), reste=2
n=2, 2^2 # 4(9),reste=4
n=3, 2^3 # 8(9),reste=8
n=4, 2^4 # 7(9),reste=7
n=5, 2^5 # 5(9),reste=5
n=6, 2^6 # 1(9),reste=1
n=7, 2^7 # 2(9),reste=2
etc...
la suite des restes de 2^n est périodique {1;2;4;8;7;5} quel que soit l'entier n
Mais je ne vois pas l'utilité de la congruence: 2^n # 2^r(9) ou peut être je ne vois pas comment l'utiliser !
C'est simplement une façon d'utiliser la périodicité et surtout de la démontrer !!!
Si tu faisais exactement l'exercice, tu verrais.
Je crois que je ne peux pas faire mieux et je n'ai pas compris ce que tu veux dire par:
Si tu faisais exactement l'exercice, tu verrais.
En relisant, je m'aperçois que c'est justement parce que tu ne tiens pas compte du résultat du 3 a) que tu ne réponds pas à la question 3 b). Je ne peux pas t'expliquer plus sans faire le corrigé, tellement c'est simple !
Bonjour
Bon,je reprends tout
1°)
n=0, 2^0 # 1(9), reste=1 le symbole # (congru )
n=1, 2^1 # 2(9), reste=2
n=2, 2^2 # 4(9),reste=4
n=3, 2^3 # 8(9),reste=8
n=4, 2^4 # 7(9),reste=7
n=5, 2^5 # 5(9),reste=5
n=6, 2^6 # 1(9),reste=1
2°)
q dans Z
On sait que 2^6 # 1(9)
(2^6)^q # 1^q(9)
donc 2^(6q) # 1(9)
3°)
a) n=6q+r, r dans {0;1;2;3;4;5]
2^n=2^(6q+r)
2^n#2^(6q+r)(9)
2^n#2^(6q)*2^r(9)
comme (2^)6q # 1(9), après multiplication
alors 2^n#2^r(9)
b) On sait que r dans {0;1;2;3;4;5}
si r=0 alors 2^n(9)=1
si r=1 alors 2^n(9)=2
si r=2 alors 2^n(9)=4
si r=3 alors 2^n(9)=8
si r=4 alors 2^n(9)=7
si r=5 alors 2^n(9)=5
et on s’arrête à r=5
Est ce ça ?
Je ne l'aurais pas écrit ainsi, mais ça semble correct.
Justement ggO, moi aussi je me suis dit que ce que j'ai écrit n'est pas correct, car la question posée est: quel est le reste en fonction des valeurs de n, cela veut dire: faire apparître explicitement les valeurs de n
On sait que pour n=6q+r, q dans Z et r={0;1;2;3;4;5}, on a:
2^n#2^(6q+r)#2^r(9)
donc
si n=6q alors 2^n(9)=1
si n=6q+1 alors 2^n(9)=2
si n=6q+2 alors 2^n(9)=4
si n=6q+3 alors 2^n(9)=8
si n=6q+4 alors 2^n(9)=7
si n=6q+5 alors 2^n(9)=5
Il m'a fallut beaucoup de temps et vos aides pour comprendre le sens de 2^n#2^r(9)
Comme tu l'as précisé dans l'une de tes réponses, cette congruence permet de déterminer la périodicité des restes 2^n(9) et par exemple de déterminer 2^2013(9) (j'ai pris cet exemple pour l'année 2013)
2013=6*335+3
ici r=3, donc 2^2013(9)=8
En fait, r dépend de n, et il aurait été intéressant de l'appeler r(n) pour bien voir qu'on calcule en fonction de n.
Cordialement.
