Une intégrale

[Xeno]

Bonjour,

Je cherche à calculer l'intégrale:

int(t*ln(t)/(1-t^2)^(3/2), t=0..1)

J'ai essayé plusieurs changements de variables, et on ne peut pas faire d'intégration par parties.

Si quelqu'un a une idée, merci beaucoup.
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[gg0]

Bonjour.

La fonction à intégrer n'a pas de primitive simple (sauf erreur) sauf à utiliser la fonction dilog.
Mais ton intégrale a une valeur assez simple, peut-être en développant en série...

Cordialement.

[krikor]

Bonsoir,

une remarque: d(1-t²)=-2tdt,je peut écrire l'intégrale int t lnt /(1-t²)^(3/2)*dt=-1/2*int lnt d(1-t²)/(1-t²)^(3/2);

u=lnt; v=-2/sqrt(1-t²)....

[Xeno]

Bonsoir et merci pour les réponses.
krikor, effectivement on peut intégrer par parties mais j'y ai déjà pensé et le crochet est divergent, ce qui ne facilite pas la tâche.
gg0, je pense que le développement en série est une bonne idée, j'ai développé le 1/(1-t^2)^(3/2), et j'aboutis à une série (en faisant une interversion) dont le terme général ressemble un peu aux intégrales de Wallis avec des factiorielles et un 4^n.
Le problème est que l'intégrale vaut -ln 2 donc je suis un peu loin.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Maple me donnait plutôt, si mes souvenirs sont exacts.

[Xeno]

Maple me donne également -ln(2), mais bon c'est tout aussi simple.

[Jedoniuor]

Bonsoir,

Un schéma à vérifier:

1) Vous faites le changement de variable t=\sin(u). Votre intégrale devient:



2) Vous vous restreignez à intégrer sur [a,b] avec 0<a<b<pi/2. On fera tendre a vers 0 et b vers pi/2 plus tard.

3) On intègre par partie en intégrant le On trouve:



4) Je vous laisse trouver que la limite de quand b tend vers pi/2 est nulle. Il reste



On écrit



Soit:



5) Je vous laisse terminer en regardant ce qui se passe quand a tend vers 0, puis calculer l'intégrale qui reste en utilisant des formules de trigo.

Après coup, je ne suis pas s\^ur que le changement de variable t=\sin(u) soit nécessaire... On peut peut-\^etre simplifier.

Cordialement.