Travail de recherche développement limité

[invite914d3cd2]

Bonjour,

J'ai un travail de recherche oral portant sur les développements limités dont voici l'énoncé:
" Soit f la fonction définie sur ]-inf; 0] par f(x) = cos(x).
Soit g la fonction définie sur [1;+inf[ par g(x) = exp(x).
On voudrait trouver une fonction h, définie sur R tout entier telle h = f sur ]-inf; 0] et h = g sur [1;+inf[.
Rechercher une telle fonction h1 qui soit continue.
Peut-on trouver une fonction h qui soit 4 fois dérivable ?"

Malgré un long moment de réflexion, je ne vois pas quoi faire et n'ayant pas encore vu les développements limités en cours, je n'arrive pas à utiliser cet outil pour résoudre ce problème.

Merci pour votre aide !
-----

[invite936c567e]

Bonjour

Si tu n'as pas encore vu les développements limités, ce n'est pas grave. Une petite recherche (c'est d'ailleurs ce qu'on te demande, si je comprends bien) sur Internet devrait pouvoir t'indiquer de quoi il retourne, et quoi qu'il en soit les connaissances que tu es censé avoir acquises au lycée, concernant notamment la dérivation et les polynômes, sont suffisantes pour répondre à la seconde question.

Quant à la première question, on sait déjà y répondre au collège.

[inviteea028771]

L'idée, dans le cas général d'une fonction h qui soit k fois dérivable, c'est de trouver un polynôme P tel que :




Et la fonction h vaudra P entre 0 et 1

[invite914d3cd2]

Merci de vos réponses. J'en ai déduit que la fonction h était un polynôme mais malheureusement je ne suis pas plus avancée.
Le sujet étant posé pour introduire le chapitre sur les développements limités, je pense que mon professeur attend de moi que je les utilise. J'ai essayé de représenter les fonctions f et g ainsi que leur développement limité pour trouver h graphiquement, en vain.

La réponse peut demander beaucoup de réflexion et de connaissances comme elle peut être évidente mais pour le moment je n'arrive pas à comprendre ce qu'on attend de moi.

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite936c567e]

La réponse peut demander beaucoup de réflexion et de connaissances comme elle peut être évidente mais pour le moment je n'arrive pas à comprendre ce qu'on attend de moi.

En fait, avec toutes les indications qui ont été données, la réponse est juste sous de ton nez.


Pour la première question, on te demande de trouver une fonction h1 continue sur ℝ, avec h1(x)=cos(x) pour x≼0 et h1(x)=exp(x) pour x≽1. Il te reste juste à trouver une définition de h1 sur l'intervalle [0;1] qui convienne. Comme il existe une infinité de réponses possibles, puisque la seule contrainte est finalement la continuité (notamment en h1(0)=1 et h1(1)=ℯ), tu n'as que l'embarras du choix.

Une réponse simple consiste à choisir une bête fonction linéaire sur [0;1]. Tu peux alors poser deux équations à deux inconnues... à toi de jouer !


Pour la seconde question, c'est le même principe, sauf qu'il existe des contraintes supplémentaires (que Tryss t'a obligeamment rappelées) sur la dérivée première, la dérivée seconde, la dérivée troisième et la dérivée quatrième des réponses possibles. Il existe là aussi une infinité de solutions, mais une réponse simple consiste à choisir une fonction polynômiale de degré juste suffisant sur l'intervalle [0;1].

Je pense que tu dois savoir dériver plusieurs fois un cosinus, une exponentielle et une fonction polynômiale.

Compte du nombre d'équations que tu dois résoudre, le nombre d'inconnues correspondant doit directement t'indiquer le degré du polynôme à trouver. Et la résolution du système d'équations t'amènera directement à l'expression de cette fonction h particulière sur [0;1].

[invite914d3cd2]

Effectivement, je cherchais la complication!
En lisant le sujet la première fois, j'avais pensé prolonger la fonction exponentielle sur [0,1]. On obtiendrait aussi, si je ne m'abuse, une fonction définie et continue sur R. Et les fonctions cosinus et exponentielle étant de classe C(infini), la fonction h aurait été de classe C(infini) et donc 4 fois dérivable. Mais ce résultat me paraissait trop "simple".

En revanche, pour la deuxième question, en considérant vos explications et en posant h un polynôme de degré 4, je tombe sur 1=e.
Je me dis donc que peut-être, la réponse à cette deuxième question est négative en prenant un polynôme.

Je vais essayer de poursuivre le travail par moi même.

Tryss et vous m'avez bien aidée, je vous en remercie.

Bonne soirée

[gg0]

Pour avoir un prolongement continu, prolonger l’exponentielle à [0;1] suffit. mais il n'y a pas dérivabilité en 0.

Cordialement.

[invite936c567e]

En revanche, pour la deuxième question, en considérant vos explications et en posant h un polynôme de degré 4, je tombe sur 1=e.

C'est parce que le raisonnement sur le degré minimum du polynôme nécessaire n'a pas été poussé jusqu'au bout. Dois-je préciser qu'on part a priori de 10 équations, que le nombre d'inconnues doit au moins correspondre au nombre d'équations indépendantes ?

[invite914d3cd2]

J'ai à présent compris le raisonnement à suivre mais je me pose une question: pourquoi les dérivées doivent elles être continues?

[gg0]

Toutes les fonctions dérivables sont continues. On ne peut pas dériver f en a si a est un point de discontinuité.

Cordialement.

[invite914d3cd2]

Désolée pour cette dernière question un peu stupide. J'ai en effet vu en cours la propriété disant que si une fonction est dérivable alors elle est continue et j'avais oublié l'équivalence de sa contraposée.

Je suis finalement un peu honteuse de vous avoir laissé faire presque tout mon travail à ma place mais je vous remercie pour votre aide.
J'essaierai de poster la correction de mon professeur pour savoir de quelle manière il voulait que j'utilise les développements limités, si ça intéresse quelqu'un...