Projet Algèbre

[invite8798b8b3]

Bonjour, j'ai un projet à rendre dans quelques semaines.
.............................. .............................. .............................. .............................. ................0,5...0.....0, 5
Soit le Polynome Pb (x)=det( B -x.I(3)) avec I(3) la matrice identité et B la matrice suivante : ( 0 0,5 0,5 )
.............................. .............................. .............................. .............................. ................0......0...... 1
Nous trouvons comme racine 0,5; 0,5 et 1 en racine, mais la prof trouve 1/racine(2) et -1/racine(2) et 1

Avec nos résultats nous avons fait la suite, cad calculer le polynome Q(X) = produit (X-x) avec X les racines de Pb
On doit développer et réduire le polynome Q
On doit calculer Q(B), déduire B² en tant que CL de B et I...

Nous trouvons :
Q(B) = B^3 - 2.B² + (5/4).B - (1/4).I(3)

Merci pour votre aide
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[albanxiii]

Bonjour,

Pouvez-vous donner votre calcul pour le premier polynôme ? Si vous ne trouvez pas comme la prof, la probabilité que vous ayez fait une erreur est plus grande que pour elle....

Et vous devriez trouver Q(B) = 0. C'est tout l'intérêt de l'exercice...

@+

[invite8798b8b3]

Merci d'avoir répondu

Alors pour Pb nous avons fait le calcul suivant

Pb (x)=det⁡( B - x.I(3))
.........0,5-x....0..........0
=det ( ..0......0,5-x.....0)
..........0,5......0,5......1-x
=(0,5-x)²×(1-x)

Je pense aussi que c'est surement elle qui a juste, mais j'aimerais comprendre où est mon erreur, car sur toute la promo nous trouvons tous la meme chose :/

Par contre je trouve bien Q(B) = 0 d'où B^3 - 2.B² + (5/4).B - (1/4).I(3) =0, mais maintenant pour isoler B² en fct de I et de B...

[invite7fcd7f26]

Bonjour,

La matrice étant triangulaire supérieure, son déterminant est le produit des éléments diagonaux, donc égale à , ce que, visiblement, vous aviez trouvé au départ. Par contre, le polynôme que vous donnez est exactement (ou plutôt son opposé, mais ça n'a pas tellement d'importance ici). D'après ce que vous disiez dans votre premier message, je pense que votre professeur vous a plutôt demandé le polynôme comme produit des (où sont les racines de sans leur multiplicité). Auquel cas, devrait être de degré 2, ici, et la suite de la question tombe alors sous le sens.



P.S. : Je suppose que le but est de vous familiariser avec les polynômes caractéristique et minimal d'une matrice (ou d'un endomorphisme) auquel cas, je vous conseil de poser et non : un polynôme unitaire est toujours plus simple à manier.

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Re,

Je vous avais demandé de détailler le calcul... ce que vous n'avez pas fait. Mais bon, puisque ça s'arrange...

@+