Montrer f(x) = 0 a une infinité de solution !

[invite159cf21f]

Bonjour à toutes et à tous,


Je suis actuellement sur un exercice ou il faut montrer que pour f: x --> (1-x²) e^-x +xsinx
l'équation f(x)= 0 à une infinité de solution et que l'ensemble de solution est une partie minorée de R

Alors voilà je ne viens pas vous demandez la solution, simplement j'ai fais quelque chose, mais je doute de la validité de mon raisonnement... J'ai mis un peu ça avec l'énergie du desespoire !
M'enfin voilà j'ai poser f(x) = 0, isolé mon sin ce que donne

sin x = ((x²-1)e^-x) / x

et là j'ai calculer la limite de mon membre de droite quand x tend vers + l'infini, c'est égal à 0.
Donc dans mes conditions, ça voudrait dire que la limite de sin x en +l'infini est 0
or sinx= 0 à une infinité de solution, j'ai donc une infinité de solution...

Mais la limite d'un sinus en +l'inifini, ça na pas vraiment de sens, alors ça me parait totalement faux mais je n vois vraiment pas comment faire..
Si c'est faux pourriez vous me dire pourquoi ?
Et si vous avez une idée pour le problème ....

Merci d'avance pour vos réponses

Pluume
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[invite54165721]

On doit trouver une infinité de segments ou sin x croit de 0 à 1 et ou l'autre expression y décroit d'une valeur > 0 à une autre <1.

[invite159cf21f]

Excusez moi, mais je n'ais pas du tout compris ce que vous m'avez proposé, pourriez vous être un peu plus explicite ?


Et est ce que j'ai fais est faux ?

[invitef3414c56]

Bonsoir,

a) Votre raisonnement ne marche pas. En effet, si vous notez


vous n'avez à priori l'égalité

que pour les x tels que f(x)=0, que vous ne connaissez pas; en général c'est une suite $x_k$ tendant vers l'infini, et d'avoir \sin(x_k)=0 ne vous dit pas que \sin(x) tend vers 0 si x tend vers l'infini.

b) Voici une suggestion (un schéma, vous aurez des choses à faire).

1) Supposons que votre équation f(x)=0 a un nombre fini de solutions. Dans ce cas, vous pouvez trouver un A, que l'on peut supposer >0, tel que f(x) est différent de 0 pour x >=A.

2) Comme f est continue sur [A,+\infty[, elle y garde donc un signe constant (pourquoi ? quel théorème utiliser pour montrer cela ?). On va supposer que f(x)<0 pour x>=A, en vous laissant le cas f(x)>0.

3) Soit x>=A, on a donc (parce que x>0)



4) Fixez un tel x>=A, remplacez x par x+2n\pi dans l'inégalité ci-dessus, avec n entier naturel, vous avez donc:



et faites tendre n vers +\infty.

5) Je vous laisse conclure.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite54165721]

Donc utilise le théorème des valeurs intermédiaires.

[invite159cf21f]

Bonjour,

alors la justification de la deuxième supposition est donner par une des formes du théorème des valeurs intermédiaires (on a une fonction continue qui ne s'annule pas sur un intervalle).

Donc àa la fin si je comprend bien, en faisant tendre n vers +l'infini, l'inégalité devrais nous donner une contradiction, donc quand je vais tendre n vers + l'inini avec x fixé, on a g(x) qui tend vers 0 et sin(x + 2npi) tend vers sin(x) qui doit être positif pour avoir une contradiction, cependant sin(x) pourrait bien être négatif ! Si par exemple x= 3pi/2, x est positif et sin(x) est bien inférieur à 0

Je ne comprend donc pas bien la fin de la méthode...

Merci pour votre aide en tout cas !

[Seirios]

Donc àa la fin si je comprend bien, en faisant tendre n vers +l'infini, l'inégalité devrais nous donner une contradiction, donc quand je vais tendre n vers + l'inini avec x fixé, on a g(x) qui tend vers 0 et sin(x + 2npi) tend vers sin(x) qui doit être positif pour avoir une contradiction, cependant sin(x) pourrait bien être négatif ! Si par exemple x= 3pi/2, x est positif et sin(x) est bien inférieur à 0

Je ne comprend donc pas bien la fin de la méthode...

La seule contrainte que tu as est , sinon tu peux choisir arbitrairement, en particulier tu peux supposer .

Sinon, on peut également remarquer qu'en posant et , on a , , et , ce qui permet de conclure en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires.

[invite159cf21f]

Ha merci beaucoup j'ai bien compris !

je reste un peu déçu de ne pas y avoir pensé...
En tout cas merci beaucoup pour votre aide ! Il ne me reste pus qu'à montrer que l'ensemble des solution est une partie minorée de R