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Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

  1. #1
    Kwaz1973

    Question Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Chers lecteurs, bonjour

    J'imagine que cette question a déjà été posée. J'ai pourtant fait une recherche dans ce forum mais je n'ai rien trouvé de vraiment explicite sur le sujet.

    Donc je la (re)pose :

    Existe-t-il une infinité de nombres premiers et quelle que soit la réponse à cette question, existe-t-il une demonstration simple (abordable pour un non-mathématicien tel que moi) qui démontrerait la réponse à cette question ?

    Par avance merci pour vos réponses

    kwAz

    -----


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  3. #2
    Danorane

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Bonjour,

    Oui, il y a en a une infinité, et ça se démontre assez simplement, par l'absurde.

    http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/NbPreInf.htm

  4. #3
    fderwelt

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Salut!

    Oui, il y a une infinité de nombres premiers, et c'est connu depuis l'Antiquité (je nesais plus qui...). Pas besoin de raisonnement par l'absurde.

    Soit p un nombre premier, et soit n = p! + 1. Alors n n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par... aucun nombre (premier ou non) <= p (le reste est 1 à chaque fois). Donc, soit n est premier (et > p), soit il est divisible par un nombre premier qui ne peut être que > p.

    Donc, pour tout p premier, il existe un nombre premier > p. Comme il n'y a pas de raison que ça s'arrête... CQFD.

    Voilà.

    -- françois

  5. #4
    Eric78

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Citation Envoyé par fderwelt
    Pas besoin de raisonnement par l'absurde.
    (...)
    Donc, pour tout p premier, il existe un nombre premier > p. Comme il n'y a pas de raison que ça s'arrête... CQFD.
    Tu fais un raisonnement par l'absurde caché pour dire ca Sinon c'est une démonstration due à Euclide.

    Eric
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

  6. #5
    matthias

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Citation Envoyé par Eric78
    Tu fais un raisonnement par l'absurde caché pour dire ca
    Pas nécessairement.

  7. #6
    Kelm

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    suffit de prendre l'exemple de
    30031 =1*2*3*5*7*11*13 +1
    30031=59*509
    59>13
    d'ou il existe une infinité de nombres premiers ...

  8. #7
    eirtemoeg

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Outre celle d'Euclide il y beaucoup d'autres démonstration qui prouvent que la suite des nombres premiers est infinie : Kummer, Hurwitz, Schorn, Euler,Thue, Perott, Auric, Métrod, Washington, Fürstenberg etc...

  9. #8
    erik

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Ce que dit fdervelt est faux
    Non,non, c'est que tu mal compris.

    Supposons que le plus grand nombre premier soit 13.

    Je construit le nombre 1*2*3*5*7*11*13+1=30031, par construction ce nombre n'est pas divisible par 2, ni par 3, ni par 5, ...., ni par 13 (car si l'on divise 30031 par 2 ou 3 ou 5 ... ou 13 on a 1 comme reste).

    Donc SOIT ce nombre est premier SOIT il est divisible par un nombre premier plus grand que 13.
    Et donc 13 n'est pas le plus grand nombre premier.

    Tu remplace 13 par n pour démontrer que n n'est pas le plus grand nombre premier, et donc que le plus grand nombre premier n'existe pas. Et tu réobtient la démo qu'a donné fdervelt

  10. #9
    eirtemoeg

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    La démonstration de Fürstenberg utilise la topologie ; elle peut être séduisante pour ceux qui se passionnent pour cette branche des mathématiques.

  11. #10
    Kelm

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Oui oui escuse moi j'ai lu trop vite g changé aprés

  12. #11
    erik

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    La démonstration de Fürstenberg utilise la topologie ; elle peut être séduisante pour ceux qui se passionnent pour cette branche des mathématiques.
    Ah, très jolie et super élégant. Je ne connaissais absolument pas (c'est une honte que mes profs de topo. n'ait pas donné ça en exo !!!!)
    Le lien que j'ai trouvé :
    preuve de Fürstenberg (en anglais)

  13. #12
    fderwelt

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Citation Envoyé par eirtemoeg
    La démonstration de Fürstenberg utilise la topologie ; elle peut être séduisante pour ceux qui se passionnent pour cette branche des mathématiques.
    Très, très jolie démonstration. Mais elle suppose le recours à la topologie, qui est tout de même moins élémentaire que l'arithmétique...

    Un petit détail sur "mon" raisonnement (c'est bien Euclide, mais moi, c'est Alzheimer qui commence à me travailler ).

    Pas besoin de prendre n premier, mais il faut bien prendre n! (factorielle de n) , et pas seulement le produit de tous les nombres premiers <= n. Pour n=8 (pour 13, c'est trop long à écrire):

    m := n!+1 = 8.7.6.5.4.3.2.1 + 1 = 40321

    En divisant m par 2,3,4,5,6,7 ou 8, il reste toujours 1. Donc si m est divisible, ce ne peut être que par un nombre plus grand que 8. En d'autres termes, tous les diviseurs de m sont > 8.

    Il faut bien sûr savoir que tout nombre est produit de facteurs premiers; dans ce cas, tous les facteurs premiers de m sont > 8 (c'est peut-être m lui-même, hein, on ne sait jamais).

    Je ne vois pas de raisonnement par l'absurde là-dedans, on montre simplement que l'ensemble des nombres premiers n'est pas borné supérieurement, donc il est infini.

    -- françois

  14. #13
    fderwelt

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Ah, au fait: 8! + 1 = 40321 = 61 x 661

    tous deux premiers.

    D'ailleurs, même si on ne sait pas que tout nombre est produit de facteurs premiers, ça tient quand même: soit m est premier, et c'est OK, soit il ne l'est pas, et il est divisible par un nombre premier > 8, qui lui-même est peut-être premier, sinon divisible par un nombre > 8, et la descente s'arrête forcément un jour à un nombre premier.

    -- françois.
    Dernière modification par fderwelt ; 08/02/2006 à 17h31.

  15. #14
    eirtemoeg

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Mais 40321 n'est pas premier alors ce procédé ne prouve rien ; il faut dans le produit n'utiliser que des facteurs premiers.

  16. #15
    eirtemoeg

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Pour ce qui concerne les nombres premiers il faut connaître la conjecture de Bertrand qui annonce que : " entre un nombre et son double il existe toujours un nombre premier" cette conjecture a été démontrée par Tchebytchev

  17. #16
    matthias

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Citation Envoyé par eirtemoeg
    Mais 40321 n'est pas premier alors ce procédé ne prouve rien ; il faut dans le produit n'utiliser que des facteurs premiers.
    La démonstration est exactement la même que l'on prenne n! + 1 ou le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à n auquel on ajoute 1.

  18. #17
    easythomas

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Attention, dans la démonstration, le nombre obtenu n'est premier que dans le cas où on considère que la liste des NP est fini, ce qui est faux. C'est pour cela que le nb qu'on obtient peut soit être premier, soit composé de NP plus grand que n.

  19. #18
    eirtemoeg

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Il s'agit de montrer que la suite des nombres premiers est infinie ; par conséquent on montre que quel que soit le nombre premier il en existe un plus grand que lui ; voilà pourqoi il ne faut considérer que des nombres premiers dans le produit ; le factoriel introduit d'autres facteurs et le résultat visé n'est donc pas atteint.
    Il existe encore une question sans réponse concernant les nombres premiers, c'est celle des nombres premiers jumeaux.

  20. #19
    matthias

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Citation Envoyé par easythomas
    C'est pour cela que le nb qu'on obtient peut soit être premier, soit composé de NP plus grand que n.
    Oui, et c'est bien ce que l'on veut montrer, que pour tout n il existe un nombre premier plus grand que n, le reste on s'en moque éperduement.

  21. #20
    matthias

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Citation Envoyé par eirtemoeg
    Il s'agit de montrer que la suite des nombres premiers est infinie ; par conséquent on montre que quel que soit le nombre premier il en existe un plus grand que lui ; voilà pourqoi il ne faut considérer que des nombres premiers dans le produit ; le factoriel introduit d'autres facteurs et le résultat visé n'est donc pas atteint.
    Igni ?
    Il suffit de montrer que pour tout n (premier ou non) il existe un nombre premier supérieur à n.
    n! + 1 n'est divisible par aucun nombre compris entre 2 et n, donc il admet un diviseur premier strictement supérieur à n. Point barre.

    Citation Envoyé par eirtemoeg
    Il existe encore une question sans réponse concernant les nombres premiers, c'est celle des nombres premiers jumeaux.
    Et ce n'est pas la seule ...

  22. #21
    eirtemoeg

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Allez donc voir le site "Les nombres premiers" de Régis ALBERTO et vous verrez comment on trouve les nombres premiers qui suivent un nombre impair donné.

  23. #22
    fderwelt

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Citation Envoyé par eirtemoeg
    Il s'agit de montrer que la suite des nombres premiers est infinie ; par conséquent on montre que quel que soit le nombre premier il en existe un plus grand que lui ; voilà pourqoi il ne faut considérer que des nombres premiers dans le produit ; le factoriel introduit d'autres facteurs et le résultat visé n'est donc pas atteint.
    Il existe encore une question sans réponse concernant les nombres premiers, c'est celle des nombres premiers jumeaux.

    Mais on s'en fiche !!!
    (désolé pour le gras souligné, ça fait un peu "je m'énerve", ce qui n'est pas le cas...)

    La démonstration d'Euclide montre que, quel que soit l'entier n, il existe un nombre premier plus grand que n. Et c'est tout. Que ce nombre soit n!+1 ou le produit des nombres premiers <=n, plus 1, ou n'importe quoi d'autre n'a aucune importance.
    Tout ce qui compte, c'est qu'il existe un nombre p, premier, et >n, pour tout n € N donné à l'avance. La preuve n'est pas constructive! Elle ne permet pas d'exhiber ce nombre p.

    [note: j'ai piqué l'idée d'utiliser € pour quelque part dans ce forum, merci à l'inventeur!]

    En prenant m = n!+1, le fait que m ne soit divisible par aucun nombre <=n est trivial; d'où la commodité de ce choix.

    Toutes ces réflexions me semblent bien métaphysiques...

    -- françois
    Dernière modification par fderwelt ; 09/02/2006 à 06h53.

  24. #23
    fderwelt

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Citation Envoyé par eirtemoeg
    Allez donc voir le site "Les nombres premiers" de Régis ALBERTO et vous verrez comment on trouve les nombres premiers qui suivent un nombre impair donné.
    J'ai vu. Et je suis plus que dubitatif (comme d'ailleurs sur "Euclide élucidé" du même auteur).

    A mes débuts, on m'avait envoyé une démonstration du grand théorème de Fermat, en quatre ou cinq pages, basée sur des considérations élémentaires de divisibilité. Diagnostic de mon patron de labo: "Si on commence à t'envoyer des démonstrations du théorème de Fermat, c'est bon signe, tu commences à être connu dans le métier."

    C'est cruel, mais réaliste...

    Avec mes excuses à eirtemoeg, qu'il ne le prenne pas pour lui...

    -- françois

  25. #24
    eirtemoeg

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    La méthode d'Euclide produit un nombre premier supérieur à celui étudié ; l'autre méthode prouve seulement son existence. La question reste donc de savoir quels sont les besoins. Quant aux méthodes c'est "bonnet blanc et blanc bonnet".

  26. #25
    eirtemoeg

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    La meilleure façon de ne plus doûter est d'étudier ; il y en a pour deux pages avant de saisir la méthode...Le reste est destiné à l'utilisation

  27. #26
    fderwelt

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Citation Envoyé par eirtemoeg
    La méthode d'Euclide produit un nombre premier supérieur à celui étudié ; l'autre méthode prouve seulement son existence. La question reste donc de savoir quels sont les besoins. Quant aux méthodes c'est "bonnet blanc et blanc bonnet".
    Ca dépend de ce qu'on appelle la méthode d'Euclide...

    Le raisonnement que j'ai exposé ne prouve effectivement que l'existence d'un nombre premmier supérieur à un nombre donné. Mais ne permet en aucun cas de le construire.

    Si c'était le cas, on aurait une méthode qui permet de ne construire que des nombres premiers (pas forcément tous), et ceci à l'infini. Or, à ma connaissance, il n'existe rien de tel. Je dis bien "à ma connaissance", mais j'ai du mal à imaginer quelque chose de simple...

    En fait, si: il suffit de prendre n = 2, 3, 4, 5... et d'essayer tous les entiers , autrement dit, le bon vieux crible d'Eratosthène. Mais ça, ce n'est pas très efficace...

    -- françois

  28. #27
    eirtemoeg

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Eh bien allez donc parcourir les deux premières pages du site "Les nombres premiers" ; je parie que vous serez étonné.

  29. #28
    fderwelt

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Citation Envoyé par eirtemoeg
    Eh bien allez donc parcourir les deux premières pages du site "Les nombres premiers" ; je parie que vous serez étonné.
    C'est fait. J'ai même téléchargé le texte, pour pouvoir l'étudier plus posément et sur papier (j'ai d'ailleurs fait la même chose pour "Euclide élucidé").

    Toujours le même problème: c'est manifestement intéressant, mais le vocabulaire et les notations ne sont pas usuels, d'où difficultés de compréhension (de ma part) et de communication (de la vôtre)... Mais je vais m'y atteler sérieusement, d'autant qu'en ce moment j'ai du temps libre.

    Cela dit, méfiez-vous de ce genre de détail: le bouquin de géométrie symplectique de J.-M. Souriau a longtemps ét considéré comme illisible à cause de ses notations non conventionnelles et de son vocabulaire parfois "original". Et pourtant, Souriau n'est pas n'importe qui, il est reconnu par tous les spécialistes du domaine...

    cordialement,

    -- françois

  30. #29
    eirtemoeg

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Mon expérience me fait savoir que le style et les notations évoluent avec le temps : il y a des modes.
    La normalisation des termes et des symboles est un problème qui se pose aux mathématiques depuis qu'elles se sont "modernisées" ; je posséde tous les "Bourbaki" cela suffit à me rendre modeste dans la rédaction.
    Cordialement également
    Dernière modification par eirtemoeg ; 09/02/2006 à 08h17.

  31. #30
    Stibium

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Citation:
    Posté par Eric78
    Tu fais un raisonnement par l'absurde caché pour dire ca
    Pas nécessairement
    Je partage l'avis d'Eric78. On a montré que:
    Pour tout p premier il existe p'>p premier.

    Est-il si évident de conclure de cela que l'ensemble des nombres premiers est infini sans utiliser un raisonnement par l'absurde?
    Si on utilise par exemple le fait qu'une suite strictement croissante admet une infinité de valeurs, on utilise un théorème dont la démonstration requiert (il me semble) un raisonnement par l'absurde, non?

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