Infinité de premiers congrus à 3 mod 4

[Bleyblue]

Bonjour,

Je tente de montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4 (c'est à dire qui peuvent s'écrire p = 4z + 3 avec z entier) mais sans grand succes

J'ai essayé de m'inspirer de la démonstration du fait qu'il existe un nombre infini de nombres premiers d'Euclide mais ça ne m'avance pas.

En fait ce qui serait bien c'est supposer qu'il n'existe que k nombres premiers congrus à 3 modulo 4 et ainsi en construire un plus grand que tout ceux-ci et toujours congru à 3 modulo 4, mais je ne vois pas comment faire.

Vous avez une idée à me donner ?

merci
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[invite986312212]

jevois pas non plus. si tu pouvais motrer que ceux du type 4k+1 sont en nombre fini, ça irait tou seul

[Bleyblue]

Effectivement, mais penses-tu que ce soit le cas ?
J'aurais tendance à dire que non même si je n'en sais rien ...

merci

[invite986312212]

non probablement pas. D'ailleurs on ne se demanderait pas si les couples de premiers jumeaux sont en nombre fini ou non.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

J'avais mal lu

[invite78bdfa83]

je l'ai vu il a pas longtemps mais ma mémoire de souris me fait défaut...
si tu prends un nombre premier superieur ou égal a 5 alor il est congru a 1 ou -1 modolo 4 ( et congru a -1 c'est congru a 3)
Ensuite si tu supposes quil n'existe qu'un nombre fini, et tu considere leur produit p1*..pn, il est congru a +-1 modulo 3.
C 'est la que ma mémoire flanche... il faut que tu trouves un nombre tu type p1*...pn + qq chose et puis montrer que ce nombre possede un diviseur premier de la forme 4k+3 distincts de tous les p1...pn...
c'est le + qq qui me manque mais si on sy met on peut trouver la solution !

[invitea7c42fd5]

Bonsoir,

cf . le "Petit théorème de Fermat" et "Le Théorème des Nombres de Carmichaël", ils ont tout deux prouvé que TOUS les nombres premiers vérifient la propriété:


Vu que tu es aussi en arithmétique modulaire et que tu cherches à faire la même démonstration qu'eux mais avec:
k nombres premiers congrus à 3 modulo 4:


Je me suis dit que cela pourrait t'aider !

Au fait, dajety faisait sûrement référence à la démonstration du théorème de Korselt !

Cordialement,

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Essaye de regarder quelque chose comme ça :
Tu prends p_1, ...., p_n une famille de nombre premiers congrus à (-1) modulo 4, et tu considères q = p_1.... p_n. C'est congru à (-1)^n modulo 4.
Si n est pair, tu regardes alors N = q+2, qui est congru à -1 modulo 4, sinon tu regardes N = q+4, qui sera alors congru à (-1) modulo 4 lui aussi.
Tu décomposes N en produit de facteurs premiers. Alors tu vérifies sans mal que 2 ne divise pas N, et qu'aucun p_i ne divise N ( sinon il diviserait forcément 2 ou 4 selon les 2 cas ci-dessus, ce qui impliquerait que p_i est pair...). Tu en déduis que les nombres premiers apparaissant dans la décomposition de N sont de la forme a_1 , ... , a_m tous différents de 2 et des p_i. Ils sont donc forcément congrus à 1 ou -1 modulo 4, ce qui implique, avec la condition N = (-1) modulo 4 qu'il y a forcément un nombre impair (et donc non nul) de a_i qui sont congrus à -1 modulo 4.

D'où la conclusion.
__
rvz

[leg]

Euler a montré que :
• Si k >1 et p = 4k + 3 est premier, alors 2p+1 est premier
si et seulement si 2^p = 1 (mod 2p+1).
• Donc, si p = 4k + 3 et 2p + 1 sont premiers alors
le nombre de Mersenne 2^p-1 est composé
• Il semble raisonnable d'affirmer qu'il y a
une infinité de telles paires p et 2p+1

la réponse est oui, il y a une infinité de Mn composés! Le contraire serait absurde ils seraient tous premiers !


Donc je suppose, que pour p = 7, congrue 3 (4) soit 4k+3, égale (2*7)+1.

D’où les seuls nombres P qui nous intéressent sont uniquement les Premiers congrues11modulo30 soit la série 11(30)qui ne comprend que( 3.3%)/2,= 1,666% des entiers naturels( 11 + (k 60) ; 71, 131

il y a une infinité de premiers P tel que que P=7(120)
ou 11(60) qui sont = à 3(4)
a toi de faire le reste

[Bleyblue]

Ah ben oui ... je me disais aussi qu'il devait y avoir une astuce dans ce genre la.

Merci à tous

[leg]

Ah ben oui ... je me disais aussi qu'il devait y avoir une astuce dans ce genre la.

Merci à tous

tu n'as qu'à dire comme il existe une infinité de nombres de Mersenne composé, il est évident qu"il y a une infinité de premier =3(4)

[leg]

Effectivement, mais penses-tu que ce soit le cas ?
J'aurais tendance à dire que non même si je n'en sais rien ...

merci

tu as raison il y en à une infinité
c'est pareil, tu prends tous les K=7(30), et 4k+1 = 29(30)
ou encore k=19(30) ce qui te donne les 17(30)
la série des nombres de Fermat =17(240)

[invitedf667161]

Je crois qu'on peut écraser le problème en invoquant un gros théorème de je ne sais plus qui dit qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme an+b dès que a et b sont premiers entre eux.

[Bleyblue]

Bah de toute façon j'avais déja montré que :

1)p1.p2. ... .pn + 2 et p1.p2. ... .pn + 4 ne sont divisibles par aucun des pi si les pi sont des premiers impaires

et

2)p1.p2. ... .pn est congru à 3mod4 => un des pi au moins est congru à 3 mod4

Donc je n'ai eu qu'a mettre ceux deux résultats en pratique pour montrer ma thèse, ce que je suis parvenu à faire grâce à vos réponses

Merci beaucoup

[leg]

Bah de toute façon j'avais déja montré que :

1)p1.p2. ... .pn + 2 et p1.p2. ... .pn + 4 ne sont divisibles par aucun des pi si les pi sont des premiers impaires

et

2)p1.p2. ... .pn est congru à 3mod4 => un des pi au moins est congru à 3 mod4

Donc je n'ai eu qu'a mettre ceux deux résultats en pratique pour montrer ma thèse, ce que je suis parvenu à faire grâce à vos réponses

Merci beaucoup

et en plus tu as du pouvoir montrer qu'au moins un nombre premier sur deux = 3(4)
puisque l'ensemble des entiers =P(30) pour P >5, et <ou =31 sont soit +-3(4) !
bonne journée

[invite6b1e2c2e]

Je crois qu'on peut écraser le problème en invoquant un gros théorème de je ne sais plus qui dit qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme an+b dès que a et b sont premiers entre eux.

Salut,

C'est le théorème de Dirichlet de progression arithmétique. La preuve utilise les séries de Dirichlet - donc des caractères et des séries qui ressemblent pas mal à la fonction zeta pour ceux qui ne connaissent pas. Au passage je crois que ça démontre en plus l'équirépartition des nombres premiers modulo n, ie, si tu considères a premier à n, alors la proportion asymptotique de nombres premiers congrus à a modulo n est 1/phi(n), où phi est la fonction d'Euler.

J'insiste tout de même sur le fait que c'est très loin d'etre trivial. Je crois que c'est bien écrit dans le Que sais-je de Tenenbaum sur les nombres premiers.
__
rvz

[Bleyblue]

et en plus tu as du pouvoir montrer qu'au moins un nombre premier sur deux = 3(4)

Non je ne pense pas
Mais je peux essayer

[leg]

je pense que pour ta thèse, ce ne serra qu'un plus trés pertinent.
ce qui serait trés bien
amicalement leg

[leg]

La seule indication que je peux te fournir, c’est ceci :
En supprimant les multiples de 2,3 et 5, il ne te reste que les entiers p(30) qui peuvent se décomposer en deux groupes de 4 familles disjointes.

1…7… 11…13…17…19…23…29
31..37…41…43…47…49…53…59
61..67.. etc, n = p(30) à l’infini

Il est trivial de remarquer qu’il forme deux groupes répartis de la même façon c'est-à-dire de la forme (n = p(30)) =3(4) ou -3(4) donc un sur deux
7 , 11, 19, 23 sont de la forme 3(4) et 1,13 ,17 , 29 sont -3(4) ; ce qui te donne un modulo 60 pour les deux groupes de familles.

Pour la rigueur ce n’est pas mon fort, mais pour l’évidence cela ne fait aucun doute.
Il faut bien entendu : faire remarquer le fait que 1, n’étant ni premier ni composé,il est donc remplacer par 31 dans ce crible (« algorithme P(30) »)

Comme il existe une infinité de premiers P=3(4) et que ces premiers se répartissent dans ces 8 familles disjointes il te faut montrer (« ce qui est le point le plus délicat ») que chaque famille comporte autant de nombre premier lorsque n tend vers l’infini !
Comme tu le remarques il s’agit d’un crible simplifié du crible d’Ératosthène.

Si tu en as en besoin je pourrai te donner des indictions sur cet algo p(30) mais je pense que cela ne serra pas la peine.
Bon courage.

[Bleyblue]

Hum ... ça n'a pas l'aire facile

Je vais essayer ça, merci bien !

[leg]

je m'en doute, mais les informations que t'indique RVZ sont trés intérressantes, sur l'équirépartition des nbr premiers.
bonne journée, A+