Bonjour à vous il y a un exercice ou j'aimerais avoir votre avis:
Soit f: [0,1] -> R une fonction continue telle que f(0)*f(1)<0
Trouvez une fonction f ( le graphe suffit) tel que f ait une infinité de racines sur [0,1].
Voilà parce que mon prof de maths a donné un exemple mais je ne suis pas trop d'accord.
Merci beaucoup
Salut,
L'exemple le plus courant est quelque chose du genre sin(1/x). Je te laisse le bidouiller pour que ça remplisse les conditions que tu veux...
Oui mon prof proposait une fonction sinusoidale mais je pense que ça ne va pas parce que le nombre de racines sera toujours fini non?
non, pour sin(1/x) tu as bien une infinité de solutions. sin(1/x)=0 si 1/x=n, soit si x=1/n
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Oui mais dans l'exercice la fonction doit être continue en 0 et 1.
c'est la qu'il faut etre futé, je pense qu'il faut partir de sin(1/x) et transformer l'expression pour qu'elle respecte les conditions de l'exo.
qu'est ce ca donne pour sin(1/(1+x)) par exemple?
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Cette fonction ne s'annule pas sur [0,1]
Je pense qu'il faut par exemple qu'il faut que f(0)=-2 ,
f(1/2)=0 puis f([1/2,3/4])=0 puis f(1)=2.
C'est un exemple mais il faut que la courbe de la fonction soit à un moment ou à un autre constante sur l'axe des abscisses.
Mais je pense qu'aucune fonction sinusoidale ne remplisse les conditions de l'exercice.
Tu peux nous donner l'exemple de ton prof ?Envoyé par Cub
Sinon, on peut bricoler une fonction bête et méchante :
Soient a et b, avec
On pose f(0) strictement négatif, f(1) strictement positif et :
Je te laisse vérifier que f est continue, et elle s'annule par définition une infinité de fois entre a et b.
(edit : j'aurais du lire le sujet en entier...)
Dernière modification par g_h ; 19/11/2006 à 14h24.
Tout à fait d'accord avec toi!
Mon prof proposait une fonction de type sinusoidale.
Sinon, à priori, la fonction
Dernière modification par g_h ; 19/11/2006 à 14h33. Motif: erreur grossiere !
Non elle ne convient pas car f(0)*f(1) =0 .
Ca s'arrange :
Elle ne convient pas, elle ne s'annule qu'une fois sur [0,1]
Ah ok, allons y bovinement alors
Voilààà
PS : en posant f(1/2) = 0 bien sur, pour la continuité
Cette fonction convient (le carré n'est pas indispensable)mais on ne peut faire qu'une approximation de sa représentation graphique contrairement à la fonction que j'ai donnée. Dans l'exercice il demandait simplement une représentation graphique de la fonction donc je pense que la mienne est plus mieux pour l'exo.
Ha non, si j'enlève le carré, la fonction devient paire, donc f(0) = f(1) donc ils sont de même signe. Le carré permet d'avoir une fonction impaire et de respecter ton énoncé.
Et c'était pas la peine de nous demander de l'aide si tu préférais ta fonction à une fonction sinusoïdale
Ouep t'as raison pour le carré j'ai parlé trop vite lol.
Si merci pour vos réponses.
Mais comme dans l'exo il demandait qu'une représentation graphique, une fonction sinusoidale ne convenait pas.
Je ne comprends pas bien,
On peut très bien te demander une représentation graphique du la fonction avec le sinus, d'ailleurs, j'ai déjà eu en DS l'année dernière à dessiner le graphe de la fonction sin(1/x) (c'est pire, puisque ça ne tend pas vers 0 en 0). C'est pas évident, mais c'est faisable car on ne demande pas une précision infinie.
De toute façon, difficile de faire autre chose qu'une approximation avec un crayon ayant une mine de diamètre supérieur à 0
En tous cas il est toujours bon de chercher des exemples non triviaux, c'est un peu comme la recherche de contre-exemples
Oui tu as raison mais dans la fonction que t'as donné le manque de précision est beaucoup plus flagrant que celle que j'ai donnée.
Et sinon pour sin(1/x) ya pas de limite en 0 non?
Elle oscille de plus en plus vite.
