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Fonction avec infinité de racines....



  1. #1
    Cub

    Fonction avec infinité de racines....


    ------

    Bonjour à vous il y a un exercice ou j'aimerais avoir votre avis:


    Soit f: [0,1] -> R une fonction continue telle que f(0)*f(1)<0

    Trouvez une fonction f ( le graphe suffit) tel que f ait une infinité de racines sur [0,1].

    Voilà parce que mon prof de maths a donné un exemple mais je ne suis pas trop d'accord.

    Merci beaucoup

    -----

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  4. #2
    Coincoin

    Re : Fonction avec infinité de racines....

    Salut,
    L'exemple le plus courant est quelque chose du genre sin(1/x). Je te laisse le bidouiller pour que ça remplisse les conditions que tu veux...
    Encore une victoire de Canard !

  5. #3
    Cub

    Re : Fonction avec infinité de racines....

    Oui mon prof proposait une fonction sinusoidale mais je pense que ça ne va pas parce que le nombre de racines sera toujours fini non?

  6. #4
    mach3
    Modérateur

    Re : Fonction avec infinité de racines....

    non, pour sin(1/x) tu as bien une infinité de solutions. sin(1/x)=0 si 1/x=n, soit si x=1/n comme est supérieur à 1, n est supérieure à 1 pour tout n>0, donc 1/n est compris entre 0 et 1 pour tout n. n pouvant tendre à l'infini...

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

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  8. #5
    Cub

    Re : Fonction avec infinité de racines....

    Oui mais dans l'exercice la fonction doit être continue en 0 et 1.

  9. #6
    mach3
    Modérateur

    Re : Fonction avec infinité de racines....

    c'est la qu'il faut etre futé, je pense qu'il faut partir de sin(1/x) et transformer l'expression pour qu'elle respecte les conditions de l'exo.

    qu'est ce ca donne pour sin(1/(1+x)) par exemple?

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

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  11. #7
    Cub

    Re : Fonction avec infinité de racines....

    Cette fonction ne s'annule pas sur [0,1]

  12. #8
    Cub

    Re : Fonction avec infinité de racines....

    Je pense qu'il faut par exemple qu'il faut que f(0)=-2 ,
    f(1/2)=0 puis f([1/2,3/4])=0 puis f(1)=2.

    C'est un exemple mais il faut que la courbe de la fonction soit à un moment ou à un autre constante sur l'axe des abscisses.

    Mais je pense qu'aucune fonction sinusoidale ne remplisse les conditions de l'exercice.

  13. #9
    g_h

    Re : Fonction avec infinité de racines....

    Citation Envoyé par Cub Voir le message
    Bonjour à vous il y a un exercice ou j'aimerais avoir votre avis:


    Soit f: [0,1] -> R une fonction continue telle que f(0)*f(1)<0

    Trouvez une fonction f ( le graphe suffit) tel que f ait une infinité de racines sur [0,1].

    Voilà parce que mon prof de maths a donné un exemple mais je ne suis pas trop d'accord.

    Merci beaucoup
    Tu peux nous donner l'exemple de ton prof ?
    Sinon, on peut bricoler une fonction bête et méchante :

    Soient a et b, avec
    On pose f(0) strictement négatif, f(1) strictement positif et :










    Je te laisse vérifier que f est continue, et elle s'annule par définition une infinité de fois entre a et b.
    (edit : j'aurais du lire le sujet en entier... )
    Dernière modification par g_h ; 19/11/2006 à 15h24.

  14. #10
    Cub

    Re : Fonction avec infinité de racines....

    Tout à fait d'accord avec toi!
    Mon prof proposait une fonction de type sinusoidale.

  15. #11
    g_h

    Re : Fonction avec infinité de racines....

    Sinon, à priori, la fonction répond à la question, en posant f(0) = 0
    Dernière modification par g_h ; 19/11/2006 à 15h33. Motif: erreur grossiere !

  16. #12
    Cub

    Re : Fonction avec infinité de racines....

    Non elle ne convient pas car f(0)*f(1) =0 .

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  18. #13
    Coincoin

    Re : Fonction avec infinité de racines....

    Ca s'arrange :
    Encore une victoire de Canard !

  19. #14
    Cub

    Re : Fonction avec infinité de racines....

    Elle ne convient pas, elle ne s'annule qu'une fois sur [0,1]

  20. #15
    g_h

    Re : Fonction avec infinité de racines....

    Ah ok, allons y bovinement alors



    Voilààà

    PS : en posant f(1/2) = 0 bien sur, pour la continuité

  21. #16
    Cub

    Re : Fonction avec infinité de racines....

    Cette fonction convient (le carré n'est pas indispensable)mais on ne peut faire qu'une approximation de sa représentation graphique contrairement à la fonction que j'ai donnée. Dans l'exercice il demandait simplement une représentation graphique de la fonction donc je pense que la mienne est plus mieux pour l'exo.

  22. #17
    g_h

    Re : Fonction avec infinité de racines....

    Ha non, si j'enlève le carré, la fonction devient paire, donc f(0) = f(1) donc ils sont de même signe. Le carré permet d'avoir une fonction impaire et de respecter ton énoncé.

    Et c'était pas la peine de nous demander de l'aide si tu préférais ta fonction à une fonction sinusoïdale

  23. #18
    Cub

    Re : Fonction avec infinité de racines....

    Ouep t'as raison pour le carré j'ai parlé trop vite lol.

    Si merci pour vos réponses.
    Mais comme dans l'exo il demandait qu'une représentation graphique, une fonction sinusoidale ne convenait pas.

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  25. #19
    g_h

    Re : Fonction avec infinité de racines....

    Je ne comprends pas bien,
    On peut très bien te demander une représentation graphique du la fonction avec le sinus, d'ailleurs, j'ai déjà eu en DS l'année dernière à dessiner le graphe de la fonction sin(1/x) (c'est pire, puisque ça ne tend pas vers 0 en 0). C'est pas évident, mais c'est faisable car on ne demande pas une précision infinie.
    De toute façon, difficile de faire autre chose qu'une approximation avec un crayon ayant une mine de diamètre supérieur à 0

    En tous cas il est toujours bon de chercher des exemples non triviaux, c'est un peu comme la recherche de contre-exemples

  26. #20
    Cub

    Re : Fonction avec infinité de racines....

    Oui tu as raison mais dans la fonction que t'as donné le manque de précision est beaucoup plus flagrant que celle que j'ai donnée.

    Et sinon pour sin(1/x) ya pas de limite en 0 non?
    Elle oscille de plus en plus vite.

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