polynome avec racines simples
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 8 sur 8

polynome avec racines simples



  1. #1
    inviteb3540c06

    polynome avec racines simples


    ------

    bonjour j'aurai besoin d'un coup de main pour résoudre l'exo suivant:

    montrer que pour tout entier n le polynôme :

    x^n/n! + x^(n-1)/(n-1)! + ... + x/1! + 1

    n'a que des racines simples

    -----

  2. #2
    invite35452583

    Re : polynome avec racines simples

    Bonjour,
    pour montrer qu'un polynôme P n'a que des racines simples il suffit (la réciproque est vraie mais n'est pas utile ici) de montrer que P et P' sont premiers entre eux ou autrement dit que pgcd(P,P')=1.
    Or pgcd(P,Q)=pgc(P-Q,Q) pour tout polynômes P,Q.
    En dérivant le polynôme en question, on obtient une dérivée qui ressemble au polynôme initial et les calculs se font donc facilement.

    Cordialement

  3. #3
    GuYem

    Re : polynome avec racines simples

    Je pense que la méthode donnée par homotopie est celle que l'on attend de toi.

    J'avais vu une à l'occasion d'un TD une jolie technique qui consiste à utiliser la convergence uniforme sur tout compact de C de cette suite de polynôme vers la fonction exponentielle (qui ne s'annule jamais).
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #4
    inviteb3540c06

    Re : polynome avec racines simples

    bonjour tous le monde (et surtout homotopie),

    voila je trouve p-p'=x^n/n! et je voudrais savoir quelle méthode employée pour calculer le pgcd ( p-p',p') afin de montrer que les polynomes sont premiers entre eux.
    Merci,
    Cordialement

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    inviteb3540c06

    Re : polynome avec racines simples

    faut-il utiliser l'algorithme d'Euclide ?

  7. #6
    invite4ef352d8

    Re : polynome avec racines simples

    Salut !
    du fait que P-P' =x^n/n!, tu en déduis que le pgcd de P et P' divse x^n, il est donc de la forme x^k.

    or x^k divise P si et seulement si k=0 (car P(0) est non nul)

    donc le pgcd de P et P' est bien 1.

  8. #7
    inviteb3540c06

    Re : polynome avec racines simples

    qu' est ce que vous pensez de cette réponse :

    Théorème classique : soit p appartenant a k[x]et soit a appartenant a k. Le polynôme p est divisible par (x-a)^2 si et seulement si p(a)=p'(a)=0.

    Preuve : on écrit la division euclidienne de p par (x-a)^2 : p(x)=q(x)(x-a)^2+r(x) et r(x) est de degré <= 1 donc on peut écrire r(x)=ux+v avec u,v appartenant a k. En évaluant en x=a, on obtient p(a)=v. De plus, si on dérive : p'(x)=q'(x)(x-a)^2+2(x-a)q(x)+u et qu'on évalue en x=a, on obtient p'(a)=u. Finalement, on a montré que le reste de la division euclidienne de p par (x-a)^2 est p'(a)x+p(a). La conclusion est maintenant immédiate.

  9. #8
    invite35452583

    Re : polynome avec racines simples

    Citation Envoyé par poinserré Voir le message
    qu' est ce que vous pensez de cette réponse :

    Théorème classique : soit p appartenant a k[x]et soit a appartenant a k. Le polynôme p est divisible par (x-a)^2 si et seulement si p(a)=p'(a)=0.

    Preuve : on écrit la division euclidienne de p par (x-a)^2 : p(x)=q(x)(x-a)^2+r(x) et r(x) est de degré <= 1 donc on peut écrire r(x)=ux+v avec u,v appartenant a k. En évaluant en x=a, on obtient p(a)=v. De plus, si on dérive : p'(x)=q'(x)(x-a)^2+2(x-a)q(x)+u et qu'on évalue en x=a, on obtient p'(a)=u. Finalement, on a montré que le reste de la division euclidienne de p par (x-a)^2 est p'(a)x+p(a). La conclusion est maintenant immédiate.
    Bonne structure de la démo mais deux petites erreurs (c'est la même en fait) à corriger et ce sera tout bon.

Discussions similaires

  1. Probleme avec la multiplicité des racines. Polynome
    Par invite30649c91 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 16/09/2007, 18h57
  2. racines d'un polynome
    Par inviteaf885e92 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 03/03/2007, 20h21
  3. racines d'un polynome
    Par invited81d07c1 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 12/12/2006, 17h29
  4. Polynôme et racines
    Par invite2f416c20 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 3
    Dernier message: 24/09/2006, 14h38
  5. Polynome : existence et racines
    Par invite131799f6 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 9
    Dernier message: 16/02/2006, 20h55