polynome avec racines simples

[inviteb3540c06]

bonjour j'aurai besoin d'un coup de main pour résoudre l'exo suivant:

montrer que pour tout entier n le polynôme :

x^n/n! + x^(n-1)/(n-1)! + ... + x/1! + 1

n'a que des racines simples
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[invite35452583]

Bonjour,
pour montrer qu'un polynôme P n'a que des racines simples il suffit (la réciproque est vraie mais n'est pas utile ici) de montrer que P et P' sont premiers entre eux ou autrement dit que pgcd(P,P')=1.
Or pgcd(P,Q)=pgc(P-Q,Q) pour tout polynômes P,Q.
En dérivant le polynôme en question, on obtient une dérivée qui ressemble au polynôme initial et les calculs se font donc facilement.

Cordialement

[invitedf667161]

Je pense que la méthode donnée par homotopie est celle que l'on attend de toi.

J'avais vu une à l'occasion d'un TD une jolie technique qui consiste à utiliser la convergence uniforme sur tout compact de C de cette suite de polynôme vers la fonction exponentielle (qui ne s'annule jamais).

[inviteb3540c06]

bonjour tous le monde (et surtout homotopie),

voila je trouve p-p'=x^n/n! et je voudrais savoir quelle méthode employée pour calculer le pgcd ( p-p',p') afin de montrer que les polynomes sont premiers entre eux.
Merci,
Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb3540c06]

faut-il utiliser l'algorithme d'Euclide ?

[invite4ef352d8]

Salut !
du fait que P-P' =x^n/n!, tu en déduis que le pgcd de P et P' divse x^n, il est donc de la forme x^k.

or x^k divise P si et seulement si k=0 (car P(0) est non nul)

donc le pgcd de P et P' est bien 1.

[inviteb3540c06]

qu' est ce que vous pensez de cette réponse :

Théorème classique : soit p appartenant a k[x]et soit a appartenant a k. Le polynôme p est divisible par (x-a)^2 si et seulement si p(a)=p'(a)=0.

Preuve : on écrit la division euclidienne de p par (x-a)^2 : p(x)=q(x)(x-a)^2+r(x) et r(x) est de degré <= 1 donc on peut écrire r(x)=ux+v avec u,v appartenant a k. En évaluant en x=a, on obtient p(a)=v. De plus, si on dérive : p'(x)=q'(x)(x-a)^2+2(x-a)q(x)+u et qu'on évalue en x=a, on obtient p'(a)=u. Finalement, on a montré que le reste de la division euclidienne de p par (x-a)^2 est p'(a)x+p(a). La conclusion est maintenant immédiate.

[invite35452583]

qu' est ce que vous pensez de cette réponse :

Théorème classique : soit p appartenant a k[x]et soit a appartenant a k. Le polynôme p est divisible par (x-a)^2 si et seulement si p(a)=p'(a)=0.

Preuve : on écrit la division euclidienne de p par (x-a)^2 : p(x)=q(x)(x-a)^2+r(x) et r(x) est de degré <= 1 donc on peut écrire r(x)=ux+v avec u,v appartenant a k. En évaluant en x=a, on obtient p(a)=v. De plus, si on dérive : p'(x)=q'(x)(x-a)^2+2(x-a)q(x)+u et qu'on évalue en x=a, on obtient p'(a)=u. Finalement, on a montré que le reste de la division euclidienne de p par (x-a)^2 est p'(a)x+p(a). La conclusion est maintenant immédiate.

Bonne structure de la démo mais deux petites erreurs (c'est la même en fait) à corriger et ce sera tout bon.