Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

[erik]

Allez donc voir le site "Les nombres premiers" de Régis ALBERTO et vous verrez comment on trouve les nombres premiers qui suivent un nombre impair donné.

Sur quel site trouve t' on cela ?
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[erik]

J'ai touvé : http://nombre.premier.free.fr/depart.html

à noter il ne permet pas de "trouver un nombre premier qui suit un nombre impair donné", il démontre (enfin j'ai pas eu le courage de lire la démo pour l'instant) que pour tout p impair il existe un nombre premier entre p et p+3+sqr(p).

[invite6de5f0ac]

Si on utilise par exemple le fait qu'une suite strictement croissante admet une infinité de valeurs, on utilise un théorème dont la démonstration requiert (il me semble) un raisonnement par l'absurde, non?

Mouais, si on veut... mais ça me paraît tellement évident que j'ai du mal à formaliser ça proprement, du moins sans me sentir ridicule...

Il me semble que la relation implique entre autres que etc. Donc tous les termes de la suite sont différents, et comme la suite est indexée par elle prend une infinité de valeurs distinctes.

Non? ou me goure-je?

-- françois

[inviteb47fe896]

Réponse à Erik
Ceci est une des conséquences de la méthode.
Le résultat immédiat est que si on propose un nombre impair, on est en mesure de citer les premiers nombres premiers qui le suivent (Excusez-moi pour ce jeu de mots inévitable). L'autre résultat, d'ailleurs seulement constaté, pourrait être utile dans certaines utilisations

[invite6de5f0ac]

je posséde tous les "Bourbaki" cela suffit à me rendre modeste dans la rédaction.
Cordialement également

TOUS les Bourbaki??? Veinard!

J'ai péniblement réussi à récupérer toute l'Algèbre Commutative, une bonne partie de l'Algèbre générale, un peu de Topologie et de Théorie des Ensembles, ainsi que les chaiptres 4 à 8 de Lie... c'est déjà pas mal.

Il est vrai qu'un des mérites de Bourbaki est de fxer le vocabulaire et les notations dans pas mal de cas. Mais il est non moins vrai que ça devient facilement pédantesque...

-- françois

EDIT: mais là, on devient carrément hors sujet, non? gare aux modérateurs!

[inviteb47fe896]

A Erik toujours.
Pour savoir comment trouver le nombre premier qui suit un nombre impair donné il suffit de consulter les deux ou trois premières pages du mémoire

[inviteb47fe896]

A François
Tous les Bourbaki ? c'est peut être exagéré mais pas mal sans doûte (Il ya eu tellement d'éditions). Quant on veut prendre connaissance d'un sujet on est quelques fois amené à se ballader d'un chapitre à l'autre si ce n'est d'un livre à l'autre avec tous ces renvois : de quoi donner la nausée !

[matthias]

Eirtemoeg, près avoir soutenu à tort que la démonstration avec les factorielles ne fonctionnait pas, tu ne cesses de renvoyer tout le monde sur ton site (c'est bien TON site non ?). Sans juger de sa valeur, si je devais mettre un lien vers un site intéressant et clair sur les nombres premiers, ce n'est vraiment pas ce site que je choisirais ...

[invited04d42cd]

Oui, et c'est bien ce que l'on veut montrer, que pour tout n il existe un nombre premier plus grand que n, le reste on s'en moque éperduement.

Je répondais à

Mais 40321 n'est pas premier alors ce procédé ne prouve rien ; il faut dans le produit n'utiliser que des facteurs premiers.

Et je suis bien d'accord avec toi

[inviteb47fe896]

A Matthias
Je n'ai pas soutenu à tort que la démonstration avec les factoriels ne fonctionnait pas, j'ai seulement dit que l'on n'obtenait pas de résultat en ce sens que l'on ne mettait pas en évidence un nombre premier répondant à la question. Je trouve votre propos agressif alors vous m'excuserez de ne plus y répondre

[matthias]

Je n'ai pas soutenu à tort que la démonstration avec les factoriels ne fonctionnait pas, j'ai seulement dit que l'on n'obtenait pas de résultat en ce sens que l'on ne mettait pas en évidence un nombre premier répondant à la question.

Il s'agit de montrer que la suite des nombres premiers est infinie ; par conséquent on montre que quel que soit le nombre premier il en existe un plus grand que lui ; voilà pourqoi il ne faut considérer que des nombres premiers dans le produit ; le factoriel introduit d'autres facteurs et le résultat visé n'est donc pas atteint.

Quand on pense qu'en plus, en ne prenant que des nombres premiers dans le produit, on n'explicite pas non plus un nombre premier répondant à la question, on ne fait que prouver son existence (comme avec la factorielle), il ya aurait comme un soupçon de mauvaise fois qui traine que ça ne m'étonnerait qu'à moitié ...

[invite986312212]

Euclide montre que si on se donne une collection finie de nombres premiers, on peut toujours en trouver un autre. Il ne dit rien de plus parce qu'il ne connaissait pas la notion d'ensemble infini (du moins formellement, on ne voit pas comment il n'en aurait pas eu une idée intuitive).

la démonstration avec la factorielle est un peu différente, puisqu'elle revient à trouver un nombre premier strictement supérieur à un autre qu'on s'est donné. C'est une démonstration d'analyste en quelque sorte, d'ailleurs elle figure dans le cours de topologie de Schwartz.

dans les deux cas, il faut un argument supplémentaire pour conclure que l'ensemble des nombres premiers est infini.

mais il n'est pas nécessaire de raisonner par l'absurde:
une suite strictement croissante d'entiers c'est par définition une injection de N dans N, son image a donc un cardinal au moins (et bien sûr au plus) égal à celui de N.

[erik]

la démonstration avec la factorielle est un peu différente, puisqu'elle revient à trouver un nombre premier strictement supérieur à un autre qu'on s'est donné.

Ah bon ? j'ai du louper un épisode.

On suppose n le plus grand des nombres premier, on constate que n!+1 n'est divisible par aucun nombre compris entre 2 et n.
On en conclu qu'il existe un nombre premier supérieur à n (et inférieur ou égal à n!+1).

Nul part on ne trouve un nombre premier supérieur à n, on se contente de montrer qu'il en existe au moins un.

[inviteb47fe896]

Avec la méthode d'Euclide, le nombre (2x3x5X7X11x...xn) +1 est un nombre premier, si le produit contient tous les nombres premiers inférieurs ou égaux au nombre premier n. Donc si on suppose que n est le plus grand des nombres premiers connus on montre ainsi par l'absurde que ce n'est pas vrai.
Voilà donc la démonstration d'Euclide..le reste est parlote qui n'apporte rien...Il y a beaucoup d'autres démonstrations pour établir le résultat

[matthias]

Avec la méthode d'Euclide, le nombre (2x3x5X7X11x...xn) +1 est un nombre premier, si le produit contient tous les nombres premiers inférieurs ou égaux au nombre premier n.

2x3x5x7x11x13 + 1 = 59x509

Je te laisse la conclusion:

le reste est parlote qui n'apporte rien...

[invite6b1e2c2e]

Je suis tout à fait d'accord avec Matthias. Une démonstration doit juste s'efforcer d'être le plus clair possible, afin de souligner vraiment les points clés, et factorielle(n) + 1 me semble plus adapté en ce sens.

Le reste est parlote qui n'apporte rien...
Même si c'est évidemment vrai.

__
rvz

[invite986312212]

Nul part on ne trouve un nombre premier supérieur à n, on se contente de montrer qu'il en existe au moins un.

ma langue a chourfé: on se contente en effet de prouver l'existence d'un nombre premier plus grand que celui qu'on s'est donné. On n'est nullement tenu de supposer qu'il existe un plus grand nombre premier. On construit simplement par récurrence une suite strictement croissante de nombres premiers.

[invite6de5f0ac]

2x3x5x7x11x13 + 1 = 59x509

Joli coup, matthias. Je n'avais pas de contre-exemple sous la main...

J'ai retrouvé dans Hasse (Number Theory, 3e ed. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 229, Springer-Verlag, page 4) la citation exacte d'Euclide:

"Il y a plus de nombres premiers que dans tout ensemble donné [à l'avance] de nombres premiers".

('Oi prôtoi arithmoi pleious eisi pantos tou protethentos plêthous prôtôn arithmôn) dommage que je ne puisse pas tout écrire en grec, ça jette autrement .

Je suppose qu'Euclide ne parlait que d'ensembles finis...

une suite strictement croissante d'entiers c'est par définition une injection de N dans N, son image a donc un cardinal au moins (et bien sûr au plus) égal à celui de N.

Ça aussi, c'est très joli. Même si ça suppose connue la notion de cardinal, et donc d'équipotence...

-- françois

[inviteb47fe896]

Réponse : mettez-vous un zéro en calcul

[erik]

Réponse : mettez-vous un zéro en calcul

J'vois pas ou il y'aurait une erreur de calcul, peux tu être plus explicite ?

[invite6de5f0ac]

Réponse : mettez-vous un zéro en calcul

Il suffit pourtant de vérifier avec n'importe quelle calculette...

Cela dit, je vois que votre âge indiqué vient de passer de 75 à 76: Joyeux anniversaire!

-- françois

[invite986312212]

Réponse : mettez-vous un zéro en calcul

zéro pointé pour moi alors:

2*3*5*7*11*13*17+1 = 19 * 97 * 277

[inviteb47fe896]

Ok ! Vous avez raison; le système d'Euclide ne concerne que les facteurs du produit qui ne peuvent être des diviseurs du résultat.
Pour ce qui est de mon âge ..on verra comment vous y serez. Je trouve vos remarques déplacées et dignes de " Blancs becs"

[matthias]

Pour ce qui est de mon âge ..on verra comment vous y serez. Je trouve vos remarques déplacées et dignes de " Blancs becs"

Il y a juste quelqu'un qui vous a souhaité bon anniversaire ...

Le reste n'a strictement rien à voir avec l'âge. Pour moi vous admettez enfin votre erreur, ça me suffit. Mais il aurait peut-être été judicieux d'éviter les remarques déplacées du genre "mettez vous un zéro en calcul", sans même avoir vérifié le calcul en question.

[invite6de5f0ac]

Pour ce qui est de mon âge ..on verra comment vous y serez. Je trouve vos remarques déplacées et dignes de " Blancs becs"

...je pensais juste être aimable...

-- françois

[matthias]

Je reviens là-dessus:

Si c'était le cas, on aurait une méthode qui permet de ne construire que des nombres premiers (pas forcément tous), et ceci à l'infini. Or, à ma connaissance, il n'existe rien de tel. Je dis bien "à ma connaissance", mais j'ai du mal à imaginer quelque chose de simple...

La formule de Minac et Willans donne tous les nombres premiers dans l'ordre (et rien que des nombres premiers):



n étant supérieur ou égal à 1, [x] désignant la partie entière de x, et en admettant que je n'ai pas fait d'erreur dans la formule.
Calculer p2 est déjà pénible.

Sinon il y a aussi des formules un peu plus simples, qui ne donnent que des nombres premiers (mais pas forcément tous, ou alors avec répétition).

[nissart7831]

Je reviens là-dessus:


La formule de Minac et Willans donne tous les nombres premiers dans l'ordre (et rien que des nombres premiers):

Tiens, je ne connaissais pas. Tu as une référence qui explicite la construction de cette formule?

[matthias]

Non mais ça doit se trouver.

[matthias]

J'ai trouvé ça sur Mathworld.
La formule ressemble à un mix entre les formules 7 et 12.

[nissart7831]

J'ai trouvé ça sur Mathworld.
La formule ressemble à un mix entre les formules 7 et 12.

merci, je regarderai.