équation de Schrödinger pour un potentiel constant

[zaskzask]

Bonsoir

Je lis dans mes notes de physique que la solution de pour V constant est . Peu crédule, je me lance...



Soit

Soit

Soit:

ou on a appliqué la transformée de fourier inverse. Mais la je suis bloqué

quelqu'un peu me dépanner?

Merci

PS:ici le h est la constante de Planck réduite et les chapeaux sont pour la transformée de Fourier.
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[albanxiii]

Bonjour,

Il est plus simple d'utiliser la technique de séparation des variables : . Vous obtiendrez deux équations simples à résoudre.

@+

[Armen92]

Avec constant, l'intégrale donnant est gaussienne et se fait immédiatement.

A une phase constante près, la solution est .

D'ailleurs, dans ce cas trivial, point besoin de passer par une transformation de Fourier. On procède exactement comme pour l'équation de diffusion classique en établissant la relation de dispersion.

[physik_theory]

Bonjour, je suis peut-être hors sujet mais l'équation de Schrödinger mentionnée est-elle à une dimensions? A quoi ressemble t elle à trois dimensions?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Armen92]

....
A quoi ressemble t elle à trois dimensions?

A trois dimensions, l'équation de Schrödinger pour une particule libre (un cas particulier de champ central !) peut se séparer pour donner des fonctions propres du genre , les étant les harmoniques sphériques et une fonction de Bessel sphérique.

[physik_theory]

Oui, mais voilà l'équation s'écrit phi*exp(kx - wt) à une dimension; par de simple dérivation on construit l'équation de Schrodinger sauf qu'a trois dimension k est un vecteur d'onde(de R³.). et x le vecteur position et x.k le produit scalaire(usuelle qu'on voit au lycée en trois dimnsion.). entre ces deux vecteurs; peut on alors refaire une simple dérivation pour retrouver l'équation de Schrodinger???

[Armen92]

Oui, mais voilà l'équation s'écrit phi*exp(kx - wt) à une dimension; par de simple dérivation on construit l'équation de Schrodinger sauf qu'a trois dimension k est un vecteur d'onde(de R³.). et x le vecteur position et x.k le produit scalaire(usuelle qu'on voit au lycée en trois dimnsion.). entre ces deux vecteurs; peut on alors refaire une simple dérivation pour retrouver l'équation de Schrodinger???

Votre question est pour moi incompréhensible.
Je pourrai tenter de vous répondre si vous la formulez de telle sorte que je puisse la comprendre.

[albanxiii]

Re,

Oui, mais voilà l'équation s'écrit phi*exp(kx - wt) à une dimension

Où voyez-vous une équation dans ce que vous avez écrit ?

Armen92 vous a répondu pour le cas d'une particule dans un champ central, nul pour une particule libre, donc en tenant compte de la symétrie sphérique.
Vous pouvez aussi ne pas en tenir compte, et la fonction d'onde est une onde plane à 3D de vecteur d'onde tel que (je ne défini pas les lettres, ce sont les notations usuelles).

Mais comme pour toutes vos questions, on trouve tout cela fait, refait et rerefait (parfois même défait...) sans peine aucune sur internet... dans des cours d'introduction ou de pré-introduction.

@+

[zaskzask]

Avec constant, l'intégrale donnant est gaussienne et se fait immédiatement.

A une phase constante près, la solution est .

D'ailleurs, dans ce cas trivial, point besoin de passer par une transformation de Fourier. On procède exactement comme pour l'équation de diffusion classique en établissant la relation de dispersion.

Bonjour,

Mais sous wikipedia, il est dit que seulement si a est un nombre réel. Ici on a un nombre complexe. ça marche quand même?

[Armen92]

Bonjour,

Mais sous wikipedia, il est dit que seulement si a est un nombre réel. Ici on a un nombre complexe. ça marche quand même?

Désolé, j'ai oublié le facteur dans le terme en de l'exponentielle.
Concernant votre question sur l'expression de l'intégrale gaussienne : le résultat est vrai quel que soit complexe d'argument strictement compris entre . La branche de la racine carrée complexe est celle dont la coupure est le demi-axe réel négatif (en prenant imaginaire pur, on retrouve d'ailleurs les fameuses intégrales de Fresnel).
Tout ceci vient du fait qu'il est possible d'effectuer un prolongement analytique immédiat.