Equation de Schrödinger pour un mouvement unidimensionnel

[Seirios]

Bonjour à tous,

Dans le cas d'un mouvement unidimensionnel d'une particule, on l'équation de Schrödinger correspondante suivante :



avec m la masse de la particule, h la constante de Planck, E l'énergie mécanique totale et U(x) l'énergie potentielle.

Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi écrit-on E-U(x). Car l'énegie potentielle est la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique.

Ne pourrait-on pas écrire le terme de l'énergie cinétique à la place de E-U(x) ?

Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Merci d'avance
Phys2
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[gatsu]

Bonjour à tous,

Dans le cas d'un mouvement unidimensionnel d'une particule, on l'équation de Schrödinger correspondante suivante :



avec m la masse de la particule, h la constante de Planck, E l'énergie mécanique totale et U(x) l'énergie potentielle.

Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi écrit-on E-U(x). Car l'énegie potentielle est la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique.

Ne pourrait-on pas écrire le terme de l'énergie cinétique à la place de E-U(x) ?

Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Merci d'avance
Phys2

En fait l'equation de Schrodinger est une tautologie. Elle dit "l'energie cinétique appiquée à une fonction d'onde est égale à l'energie cinétique appliquée à une fonction d'onde" mais elles écrit cette énergie cinétique de deux façon différentes.
Une qui fait intervenir la dérivé seconde par rapport à l'espace et une qui provient de la définition du hamiltonien et qui est E-U(x).

[bschaeffer]

Bonjour à tous,

Dans le cas d'un mouvement unidimensionnel d'une particule, on l'équation de Schrödinger correspondante suivante :



avec m la masse de la particule, h la constante de Planck, E l'énergie mécanique totale et U(x) l'énergie potentielle.

Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi écrit-on E-U(x). Car l'énegie potentielle est la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique.

Ne pourrait-on pas écrire le terme de l'énergie cinétique à la place de E-U(x) ?

Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Merci d'avance
Phys2

Bien sûr, voilà ce ça donne:

ou même en utilisant la formule de l'onde de de Broglie:

ou, encore plus court avec le vecteur d'onde

[invite1c3dc18e]

Car l'énegie potentielle est la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique.

hum lol, il y a quelque chose qui cloche dans ta phrase

Ne pourrait-on pas écrire le terme de l'énergie cinétique à la place de E-U(x) ?

En fait, pour comprendre pourquoi dans l'équation de Schrödinger on utilise la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle et pas la somme de celles-ci, il faut revenir aux notions de Lagrangien et Halmiltonien et au principe de moindre action:

http://forums.futura-sciences.com/ar...miltonien.html

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mécanique_hamiltonienne

http://fr.wikipedia.org/wiki/Lagrangien

http://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_de_moindre_action

++

[A voir en vidéo sur Futura]

[Rincevent]

la définition du hamiltonien et qui est E-U(x).

le problème c'est plutôt que E est une valeur propre de l'hamiltonien (dont la valeur est donc inconnue au moment où l'on commence la résolution de l'équation) et l'écriture initiale est bien moins ambigue : avec H opérateur et E valeur propre.

[bschaeffer]

Bien sûr il s'agissait de l'énergie totale…

[Seirios]

ou, encore plus court avec le vecteur d'onde

Mais ce n'est pas l'équation de Schrödinger pour une particule libre ?

Une qui fait intervenir la dérivé seconde par rapport à l'espace et une qui provient de la définition du hamiltonien et qui est E-U(x).

Mais l'hamiltonien n'est pas défini comme H=K+U (énergie cinétique, plus énergie potentielle) ?

hum lol, il y a quelque chose qui cloche dans ta phrase

Oui effectivement Il faudrait évidemment lire "Car l'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle."

[Rincevent]

Mais l'hamiltonien n'est pas défini comme H=K+U (énergie cinétique, plus énergie potentielle) ?

si, mais l'opérateur énergie cinétique est égale à moins la dérivée seconde (à des facteurs numériques près : l'important est le signe)

ça sert à rien de prendre une forme de l'équation de S qui résulte déjà de manipulations mathématiques si tu ne connais pas les bases...

pour résumer : on part de l'équation où E est une constante initialement indéterminée (énergie totale = énergie mécanique) et l'opérateur hamiltonien. Celui-ci est défini comme la somme de l'opérateur énergie cinétique et de l'opérateur énergie potentielle . Le premier te donne en une dimension et le deuxième (note bien que quand un truc a un chapeau, c'est que c'est un opérateur, pas un nombre).

en jouant avec tout ça tu dois aboutir à ton équation....

[edit] j'ai écrit avec alors que ton équation est avec h...

[reedit] tu peux regarder aussi ce lien : wiki

[Seirios]

ça sert à rien de prendre une forme de l'équation de S qui résulte déjà de manipulations mathématiques si tu ne connais pas les bases...

Pourtant c'est la première équation de Schrödinger que me donne un petit cours de MQ, en me disant joyeusement qu'on ne peut pas tirer l'équation de Schrödinger de principes fondamentaux, alors je ne suis apparemment pas sensé me poser des questions...
Je vais donc continuer mon cours sans trop me poser de questions, et commencer mon cours de mécanique analytique


Merci en tout cas d'avoir répondu

[Calvert]

Je persiste à dire qu'il est vain de vouloir comprendre la MQ sans connaître la mécanique analytique... A ta place, je prendrais les choses dans l'ordre.

[indian58]

Je persiste à dire qu'il est vain de vouloir comprendre la MQ sans connaître la mécanique analytique... A ta place, je prendrais les choses dans l'ordre.

Pas necessairement!

[bschaeffer]

Mais ce n'est pas l'équation de Schrödinger pour une particule libre ?

Oui, c'est bien l'équation des ondes de d'Alembert appliquée aux ondes de de Broglie où la vitesse de phase de l'onde est donnée par c^4/v^2 où v est la vitesse de la particule, fonction de l'énergie cinétique T=K=E-V=E-U
qui devient bien celle de Schrödinger à la résonance, c'est-à-dire pour une onde stationnaire dans le champ électrostatique du noyau de l'atome d'hydrogène.

[Seirios]

Je persiste à dire qu'il est vain de vouloir comprendre la MQ sans connaître la mécanique analytique... A ta place, je prendrais les choses dans l'ordre

Mais comme je suis autodidacte, il faut que j'étudie la MQ pour voir les préresquis qu'il me faut (sauf les principaux, dont j'ai été informé sur le forum). Donc ce n'est que maintenant que je me rends compte qu'il me faut certaines connaissances en mécanique analytique pour étudier la MQ (ce qui tombe bien, puisque j'ai cours sur le sujet).

[gatsu]

Je persiste à dire qu'il est vain de vouloir comprendre la MQ sans connaître la mécanique analytique... A ta place, je prendrais les choses dans l'ordre.

Mouai ça peut être important quand on veut comprendre soit historiquement soit en profondeur mais pour les bases faut pas déconner, ce n'est pas essentiel .
(En fait c'est important dès qu'on met un champ électromagnétique et encore...ça dépend du niveau de détail demandé)

Personnelement je pense plutot que la mécanique analytique est par contre indissociable des histoires de chaos hamiltonien et même chaos dissipatif mais c'est tout à fait autre chose.

[Gwyddon]

Mais comme je suis autodidacte, il faut que j'étudie la MQ pour voir les préresquis qu'il me faut (sauf les principaux, dont j'ai été informé sur le forum). Donc ce n'est que maintenant que je me rends compte qu'il me faut certaines connaissances en mécanique analytique pour étudier la MQ (ce qui tombe bien, puisque j'ai cours sur le sujet).

Ecoute Phys2, on te l'a déjà dit mais on va quand même te le redire car finalement c'est assez agaçant de devoir le répéter : malgré ta sans doute très grande intelligence, il y a des choses qui ne sont définitivement pas de ton niveau.

Très souvent on te voit te lancer dans des choses qui sont de niveau bac+4, bac+5, alors que tu n'as pas certaines des bases qui sont bac ou bac-1, et qui pourtant peuvent paraître évidentes pour quelqu'un qui utilise ces connaissances de niveau bac+4.

Un peu de patience c'est important. La patience fait aussi partie de l'apprentissage, et apprendre en autodidacte a ses limites.

Tu es en train d'apprendre un tas de choses en désordre, ce qui est une grave erreur.

[Seirios]

Très souvent on te voit te lancer dans des choses qui sont de niveau bac+4, bac+5

Très souvent ? Il est vrai que je n'ai pas réellement connaissance des différents programmes, mais je ne pense pas aller faire un tour dans ces programmes là si souvent que ça.
Après il est possible que je dérappe sur des sujets de niveau conséquent, résultant de questions que je me suis posé à la lecture d'un document de vulgarisation plus ou moins haute. Mais je ne vais en général pas bien loin, car comme tu le dis, je n'ai pas le niveau pour cela.
Mais j'étudie également des domaines qui sont tout à fait à ma porté, même si cela ne paraît pas sur le forum. J'étudie la mécanique newtonienne, l'électromagnétisme, un peu d'optique, et je commence la mécanique analytique (en partant des bases). Et j'étudie également en parallèle les mathématiques, pour rester relativement cohérent avec mes cours de physique.

Maintenant il tout à fait possible que je sois trop impatient, c'est même probable, mais je ne pense pas non plus apprendre dans un désordre absolu. Encore une fois, les questions que je pose sur le forum ne sont pas forcément représentative de ce que j'étudie.

[Gwyddon]

et je commence la mécanique analytique (en partant des bases). Et j'étudie également en parallèle les mathématiques, pour rester relativement cohérent avec mes cours de physique.

Hello Phys2,

Rien que cette phrase déjà me montre que tu ne sais pas faire la part des choses, ce qui est compréhensible puisque ce n'est pas de ton niveau. Accepte que l'on te le dise

La mécanique analytique est quelque chose qui n'est pas aisé, sans doute de niveau bac+2 si l'on veut réellement comprendre ce qu'il se cache derrière.

Maintenant il tout à fait possible que je sois trop impatient, c'est même probable, mais je ne pense pas non plus apprendre dans un désordre absolu.

Malheureusement si. Et je ne crois pas que c'est la première fois que l'on te le dit

Encore une fois, c'est pour t'aider que je fais ces remarques


EDIT : au passage tu n'es pas le seul à vouloir "brûler les étapes", moi aussi je l'ai fait et l'on m'a aussi rappelé ce que je te rappelle en ce moment

[invite1c3dc18e]

et je commence la mécanique analytique (en partant des bases). Et j'étudie également en parallèle les mathématiques, pour rester relativement cohérent avec mes cours de physique.

Pour progresser de façon cohérente en physique, il faut déjà posséder les bases mathématiques qui se cachent derrière. Etudier en parallèle les math, n'est pas la bonne solution. Les maths doivent précéder l'étude du problème physique.

La mécanique analytique ne peut être abordée convenablement qu'après un certain cours de CDI (calcul différentiel et intégral) dont tous les physiciens se rappelent

++

[Magnétar]

Salut,

Je voudrais pas faire de HS mais le ne découragez pas trop de poser des questions parce que personnellement je trouve toujours tout un tas de trucs intéressant dans les réponses qui lui sont données (ce post en est un très bon exemple d'ailleurs) donc ça serait dommage (pour moi en tout cas....oui je suis très égoïste) de nous -me- (égoïste disais-je) priver d'une telle source d'information.

Bon maintenant il veut peut-être aller un peu vite mais je dois dire que je le comprends.

J'étudie la mécanique newtonienne, l'électromagnétisme, un peu d'optique, et je commence la mécanique analytique (en partant des bases)

En fait je te conseillerai (sans prétention aucune) de te limiter à la mécanique newtonienne, l'optique et pourquoi pas l'électromagnétisme, la mécanique analytique pour le peu que j'en connais (même très très peu) ça fait déjà appel à du calcul variationnel et ça doit pas être franchement simple, et comme c'est un sujet qui m'attire particulièrement (et que donc je suis impatient et que je regarde le programme pour voir quand enfin je pourrais l'étudier) je peux dire qu'on voit ça plutôt en L3, certains cours en L2.

Pour la MQ j'ai un bouquin pas mal (et même mieux que ça) que je te suggèrerai de feuilleter c'est celui-ci :

http://www.chapitre.com/CHAPITRE/fr/...100508600.aspx

Il ne demande pas vraiment de mathématiques au début (les trois premiers chapitre je dirais) mais les raisonnements sont très "avec les mains" et par analogies. De plus il y a quelques exos à la fin de chaque chapitre qui montre bien que l'on a pas toujours besoin de résoudre une équation de Schrödinger pour raisonner sur des problèmes de MQ. En plus il est assez "actuel". Par contre je ne te dirais pas de l'acheter parce que dans la suite ça se complique et tu te retrouveras avec les même "problèmes" que ceux que tu as là. Donc si tu peux le feuilleter...

Bon voilà désolé pour l'intervention qui ne servait à rien.

[Gwyddon]

Je voudrais pas faire de HS mais le ne découragez pas trop de poser des questions parce que personnellement je trouve toujours tout un tas de trucs intéressant dans les réponses qui lui sont données

Je ne veux surtout pas le décourager de se poser des questions ! Mais quand je vois certaines de ses questions très techniques, je pense que ce n'est pas de son niveau et je préfère lui rappeler. Chaque chose en son temps

Bon voilà désolé pour l'intervention qui ne servait à rien.

Au contraire, ton intervention en regard de ce fil est sans doute plus constructive que la mienne

[invitea774bcd7]

La mécanique analytique ne peut être abordée convenablement qu'après un certain cours de CDI (calcul différentiel et intégral) dont tous les physiciens se rappelent

Jamais rien capté en mécanique analytique Ça et la thermodynamique…

[invitefa5fd80c]

Dans le cas d'un mouvement unidimensionnel d'une particule, on l'équation de Schrödinger correspondante suivante :



avec m la masse de la particule, h la constante de Planck, E l'énergie mécanique totale et U(x) l'énergie potentielle.

Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi écrit-on E-U(x). Car l'énegie potentielle est la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique.

Ne pourrait-on pas écrire le terme de l'énergie cinétique à la place de E-U(x) ?

On pourrait en effet écrire le terme de l'énergie cinétique à la place de E-U(x) et l'équation pourrait être alors vue comme une définition de l'énergie cinétique K pour un objet microscopique:



ce qui montre qu'en physique quantique, l'énergie cinétique, comme toute autre variable dynamique, n'est pas un nombre "ordinaire" mais un opérateur qui agit sur un vecteur d'état (dans la mécanique ondulatoire, le vecteur d'état est nommé fonction d'onde).

Mais bien évidemment, cette équation n'a pas été posée pour définir l'énergie cinétique en mécanique quantique mais bien pour décrire l'évolution des fonctions d'onde introduites par Louis de Broglie.

[Seirios]

Rien que cette phrase déjà me montre que tu ne sais pas faire la part des choses, ce qui est compréhensible puisque ce n'est pas de ton niveau. Accepte que l'on te le dise

Mais j'accepte tout à fait

EDIT : au passage tu n'es pas le seul à vouloir "brûler les étapes", moi aussi je l'ai fait et l'on m'a aussi rappelé ce que je te rappelle en ce moment

Juste par curiosité : as-tu réellement arrêté ?


Comme cela ne sert à rien de recevoir des critiques (pas méchantes bien sûr ) si on ne sait pas en profiter, voilà une petite question : En me replongeant dans les maths, que j'avais assez délaissé ces derniers temps, disons à partir de la première année, cela rendrait-il mon apprentissage plus cohérent ?

[Seirios]

On pourrait en effet écrire le terme de l'énergie cinétique à la place de E-U(x) et l'équation pourrait être alors vue comme une définition de l'énergie cinétique K pour un objet microscopique

Ce qui dérange principalement, c'est que si l'on remplace E-U(x) par l'énergie cinétique, on retrouve l'équation de Schrödinger pour une particule libre (en posant U(x)=0), alors que les situations physiques sont tout à fait différentes...

[bschaeffer]

Ce qui dérange principalement, c'est que si l'on remplace E-U(x) par l'énergie cinétique, on retrouve l'équation de Schrödinger pour une particule libre (en posant U(x)=0), alors que les situations physiques sont tout à fait différentes...

T=E- U est l'énergie cinétique. E est l'énergie totale mécanique et U le pitentiel. Si l'énergie potentielle est nulle, on a une particule libre d'énergie mécanique E et de vitesse constante v telle que E= 1/2mv2. En remplaçant la vitesse en utilisant la formule de de Broglie lambda= h/mv on obtient l'équation de Schrödinger d'une particule libre. Je ne vois pas très bien où est le problème. L'équation de Schrödinger marche, que le potentiel soit nul ou non.
C'est normal puisque l'équation de Schrödinger est la conséquence des ondes de de Broglie.

[bschaeffer]

On pourrait en effet écrire le terme de l'énergie cinétique à la place de E-U(x) et l'équation pourrait être alors vue comme une définition de l'énergie cinétique K pour un objet microscopique:



ce qui montre qu'en physique quantique, l'énergie cinétique, comme toute autre variable dynamique, n'est pas un nombre "ordinaire" mais un opérateur qui agit sur un vecteur d'état (dans la mécanique ondulatoire, le vecteur d'état est nommé fonction d'onde).

Mais bien évidemment, cette équation n'a pas été posée pour définir l'énergie cinétique en mécanique quantique mais bien pour décrire l'évolution des fonctions d'onde introduites par Louis de Broglie.

C'est bien joli, les opérateurs mais cela n'a pas de signification physique, au contraire de l'énergie. Moi, je préfère parler de dérivées partielles. Pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple?

[invitefa5fd80c]

Ceci dit, je m'inscris en faux contre l'affirmation qu'il y a une façon correcte d'apprendre les choses: il y en a autant qu'il y a d'individus différents. Mais pour des raisons "pratiques", les systèmes d'éducation doivent adopter la façon d'enseigner les choses qui est le plus susceptible d'être efficace pour le plus grand nombre de personnes possible.

La meilleure garantie de succès dans l'apprentissage d'un domaine est la motivation d'apprendre. Et la curiosité, ou encore mieux la passion de comprendre les choses, est la plus grande source de motivation qui soit. C'est tout à fait anti-pédagogique que de s'opposer à cette curiosité lorsqu'elle s'exprime.

Voila, c'était ma petite sortie de la semaine

[Seirios]

Je ne vois pas très bien où est le problème. L'équation de Schrödinger marche, que le potentiel soit nul ou non.

Je pense finalement avoir saisi mon problème de compréhension : je ne voyais pas la différence entre l'équation de Schrödinger que j'ai donnée et celle d'une particule libre (puisqu'en remplaçant E-U(x) par l'énergie cinétique on retrouvait l'équation d'une particule libre), mais cela doit résider dans l'expression de la vitesse, qui, elle, est influencée par l'énergie potentielle.

Si c'est cela, alors j'ai compris.

[gatsu]

C'est bien joli, les opérateurs mais cela n'a pas de signification physique, au contraire de l'énergie. Moi, je préfère parler de dérivées partielles. Pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple?

Ben justement d'un point de vue pratique si on veut faire simple, il vaut mieux utiliser les opérateurs, les raisonnements déductifs pour certains problèmes en sont grandement facilités. Par exemple, si on garde les dérivées partielles pour l'oscillateur harmonique, on est un peu perdu si on connait pas les polynomes d'hermites, alors que la résolution en termes d'opérateurs prend seulement quelques lignes....et on retrouve les polynomes d'hermites en plus en passant en représentation {|r>}.
En outre, la vision en terme d'opérateurs est très liée à la notion d'état quantique en physique qui est plus "primordiale", j'ai envie de dire, qu'une simple fonction d'onde (et sa TF) qui est juste un bout de l'iceberg.

[bschaeffer]

Je pense finalement avoir saisi mon problème de compréhension : je ne voyais pas la différence entre l'équation de Schrödinger que j'ai donnée et celle d'une particule libre (puisqu'en remplaçant E-U(x) par l'énergie cinétique on retrouvait l'équation d'une particule libre), mais cela doit résider dans l'expression de la vitesse, qui, elle, est influencée par l'énergie potentielle.

Si c'est cela, alors j'ai compris.

oui c'est cela. La vitesse dépend de l'énergie potentielle en raison de la conservation de l'énergie mécanique E.