Equation de Schrödinger pour un mouvement unidimensionnel

invite93279690 · 12/08/2007, 14h37

Envoyé par Magnétar

Il y avait un message qui parlait d'un puit infini et c'est ce qu'il est en train d'essayer de résoudre d'après ce que j'ai compris.

Bien entendu la solution qu'il présente ressemble fort à la solution pour un puit infini mais je préfère lui demander ce qu'il a pris comme potentiel pour être bien sûr

d'autant que je n'ai pas retrouvé le message parlant d'un puit infini, je dois être bigleu

. J'aimerai, de la même façon savoir comment il propose la solution qu'il donne dans son avant dernier message je crois : utilise-t-il les conditions aux limites ou l'a-t-il simplement chopé dans un bouquin ?

Je pense que si il veut comprendre "l'histoire" des bons nombres quantiques, il serait assez judicieux de lui parler des bases de plus bas niveau sur les symétries en MQ (qui ne sont pas évidentes) et les appliquer pour un problème à 1D simple et voir comment ce genre de chose se transpose pour la modélisation la plus simple de l'atome d'hydrogène en MQ par exemple...puisque je trouve que lui expliquer l'atome d'hydrogène est perdu d'avance car trop compliqué dans le détail (et c'est là dedans qu'il a tendance à se jeter avec témerité).

invite58a61433 · 12/08/2007, 16h22

je dois être bigleu.

Non absolument pas il a juste été déplacé dans le sujet sur le contenu historique, je m'en suis rendu compte plus tard.

il serait assez judicieux de lui parler des bases de plus bas niveau sur les symétries en MQ (qui ne sont pas évidentes) et les appliquer pour un problème à 1D simple et voir comment ce genre de chose se transpose pour la modélisation la plus simple de l'atome d'hydrogène en MQ par exemple...

Oui je pense aussi que c'est mieux, je trouve ça "plus physique". Et puis ça me semble plus accessible que la résolution de l'ES pour l'atome d'hydrogène par exemple (résolution que je ne connais absolument pas dans les détails). En tout cas c'est à partir de considérations de symétrie que j'ai vu l'introduction de n et l et c'est assez efficace je trouve, mais bon je n'y connais pas grand chose quand même... donc propos à prendre avec des pincettes.

Maintenant je pense qu'il peut sans trop de problème s'attaquer à des résolutions en 1 dimension pour des particules libres ou pour des puits de potentiels plats (infinis ou non).

**Seirios** · 12/08/2007, 17h24

Envoyé par gatsu

Le manque de précision dans ton vocabulaire laisse à penser que tu n'as pas encore ces bases ce qui est normal.

A vrai dire c'est qu'une question qui n'est pas du tout dans le cadre de mon cours d'introduction, mais seulement une question qui m'est venu à l'esprit lors de la lecture de celui-ci (donc il est tout à fait possible, et même probable, que la réponse ne soit pas de mon niveau).

Je te conseillerais de commencer par la résolution de l'equation de Schrodinger associée respectivement à un puit infini à une dimension et à une particule totalement libre à une dimension et d'observer quelles sont les différences fondamentales entre les solutions associées à ces deux systèmes.

C'est justement ce par quoi mon cours d'intro commence

J'aimerai, de la même façon savoir comment il propose la solution qu'il donne dans son avant dernier message je crois : utilise-t-il les conditions aux limites ou l'a-t-il simplement chopé dans un bouquin ?

C'est moi qui l'est résolu. J'ai posé des constantes pour simplifier l'équation, et j'ai déterminer deux des trois constantes en posant f(0)=0 (par contre je n'ai pas trouvé A ; je pensais la trouver en posant l'intégrale de la densité au carré sur plus et moins infini égale à un, mais les calculs sont un peu compliqués...)

invite58a61433 · 12/08/2007, 17h41

J'ai posé des constantes pour simplifier l'équation, et j'ai déterminer deux des trois constantes en posant f(0)=0 (par contre je n'ai pas trouvé A ; je pensais la trouver en posant l'intégrale de la densité au carré sur plus et moins infini égale à un, mais les calculs sont un peu compliqués...)

Si tu es bien dans le cas d'un puits de potentiel infini alors ta particule se trouvera nécessairement dans ce puits donc la probabilité de la trouver dans ce puits est égale à 1 à partir de là tu peux te contenter t'intégrer entre 0 et a.
Je pense que ça devrait te simplifier les choses.

**Seirios** · 12/08/2007, 17h44

OK merci je vais me remettre sur l'équation

invite93279690 · 12/08/2007, 19h22

Envoyé par Magnétar

Non absolument pas il a juste été déplacé dans le sujet sur le contenu historique, je m'en suis rendu compte plus tard.

Oui je pense aussi que c'est mieux, je trouve ça "plus physique". Et puis ça me semble plus accessible que la résolution de l'ES pour l'atome d'hydrogène par exemple (résolution que je ne connais absolument pas dans les détails). En tout cas c'est à partir de considérations de symétrie que j'ai vu l'introduction de n et l et c'est assez efficace je trouve, mais bon je n'y connais pas grand chose quand même... donc propos à prendre avec des pincettes.

Maintenant je pense qu'il peut sans trop de problème s'attaquer à des résolutions en 1 dimension pour des particules libres ou pour des puits de potentiels plats (infinis ou non).

Ouai enfin personnelement, je ne trouve pas les puits finis super faciles non plus puisqu'on obtient, si mes souvenirs sont bons, une equation implicite pour E (c'est à dire qu'on a pas la forme explicite des niveaux d'enrgies).

invitedbd9bdc3 · 13/08/2007, 00h02

si si, on trouve une expression du genre E=2m pi n/h

**Seirios** · 13/08/2007, 08h25

J'ai finalement trouvé comment quantifier l'énergie pour une particule dans un puit de potentiel infini :

En appliquant l'équation d'onde à une onde possédant une longueur d'onde de de Broglie, on trouve l'équation de Schrödinger :

$\text{[math]}$

Comme une particule dans un puit de potentiel infini ne possède pas de potentiel, on réduit l'équation en posant U(x)=0 :

$\text{[math]}$

Puis en résolvant l'équation différentielle, on obtient :

$\text{[math]}$

Comme il s'agit d'un puit de potentiel infini, $\text{[math]}$ et on en déduit $\text{[math]}$ .

En réinsérant la constante dans l'expression de la fonction d'onde indépendante du temps, on a :

$\text{[math]}$ , c'est-à-dire $\text{[math]}$

Pour un puit de potentiel infini de largeur a, on a $\text{[math]}$ , et on en déduit que $\text{[math]}$ .

On a donc $\text{[math]}$ , et on peut donc voir que l'énergie est quantifiée dans un puit de potentiel infini.

invite93279690 · 13/08/2007, 12h47

Envoyé par Thwarn

si si, on trouve une expression du genre E=2m pi n/h

Non non c'est pas aussi simple que ça et une résolution graphique est même nécessaire

regarde dans le Cohen si tu veux (complément H chapitre I ).

invite93279690 · 13/08/2007, 12h54

Envoyé par Phys2

J'ai finalement trouvé comment quantifier l'énergie pour une particule dans un puit de potentiel infini :

En appliquant l'équation d'onde à une onde possédant une longueur d'onde de de Broglie, on trouve l'équation de Schrödinger :

$\text{[math]}$

Comme une particule dans un puit de potentiel infini ne possède pas de potentiel, on réduit l'équation en posant U(x)=0 :

$\text{[math]}$

Puis en résolvant l'équation différentielle, on obtient :

$\text{[math]}$

Comme il s'agit d'un puit de potentiel infini, $\text{[math]}$ et on en déduit $\text{[math]}$ .

En réinsérant la constante dans l'expression de la fonction d'onde indépendante du temps, on a :

$\text{[math]}$ , c'est-à-dire $\text{[math]}$

Pour un puit de potentiel infini de largeur a, on a $\text{[math]}$ , et on en déduit que $\text{[math]}$ .

On a donc $\text{[math]}$ , et on peut donc voir que l'énergie est quantifiée dans un puit de potentiel infini.

Oui c'est tout à fait ça

.
Par contre, peux tu justifier pourquoi la fonction d'onde est nulle à l'exterieur du puit ?
Et quelle est la propriété (mathématique) de la fonction d'onde que l'on utilise pour dire que
$\text{[math]}$
Cette condition est elle aussi vérifiée par la dérivée de la fonction d'onde ?

**Seirios** · 13/08/2007, 13h41

Par contre, peux tu justifier pourquoi la fonction d'onde est nulle à l'exterieur du puit ?

Comme le puit de potentiel est infini, la particule ne peut pas en sortir, et la fonction d'onde est donc nulle (puisque la probabilité de présence de la particule est nulle également).

Pour la seconde question, la réponse ne me vient pas immédiatement, alors je vais réfléchir un peu

invite93279690 · 13/08/2007, 13h45

Envoyé par Phys2

Comme le puit de potentiel est infini, la particule ne peut pas en sortir, et la fonction d'onde est donc nulle (puisque la probabilité de présence de la particule est nulle également).

Ok c'est ça

.

Pour la seconde question, la réponse ne me vient pas immédiatement, alors je vais réfléchir un peu

Prends ton temps, la réponse n'est pas compliquée (elle t'est peut être évidente en fait).

**Seirios** · 13/08/2007, 13h56

Prends ton temps, la réponse n'est pas compliquée (elle t'est peut être évidente en fait).

Disons que ça me paraît logique, mais c'est je ne vois pas une "propriété mathématique" qui pourrait permettre de justifier l'expression...
Sinon on sait que la fonction d'onde hors du puits de potentiel est nulle. Ensuite $\text{[math]}$ représente la fonction d'onde "au bord" du puits de potentiel, et est donc inaccessible pour la particule se trouvant à l'intérieur du puits, d'où la nullité.
Mais je ne sais pas comment de montrer de manière plus rigoureuse...

invite93279690 · 13/08/2007, 14h06

Envoyé par Phys2

Disons que ça me paraît logique, mais c'est je ne vois pas une "propriété mathématique" qui pourrait permettre de justifier l'expression...
Sinon on sait que la fonction d'onde hors du puits de potentiel est nulle. Ensuite $\text{[math]}$ représente la fonction d'onde "au bord" du puits de potentiel, et est donc inaccessible pour la particule se trouvant à l'intérieur du puits, d'où la nullité.
Mais je ne sais pas comment de montrer de manière plus rigoureuse...

Bon alors en fait la propriété que tu utilises intuitivement s'appelle la continuité de la fonction d'onde (je crois que celle de la fonction d'onde ne se montre pas...mais je n'y ai pas vraiment réfléchit).
Par définition une fonction $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ par exemple est continue en $\text{[math]}$ ssi

$\text{[math]}$
Dans le cas que tu viens de traiter par exemple la dérivée de la fonction d'onde n'est pas continue, ce qui est dû en fait à la présence du potentiel infini.
Mais si tu veux t'attaquer à d'autres problèmes 1D avec des barrières de potentiel, il faudra vérifier systématiquement que la dérivée de la fonction d'onde est bien continue puisque ça te sera utile pour la résoluition du problème.

invitedbd9bdc3 · 13/08/2007, 14h08

Envoyé par gatsu

Non non c'est pas aussi simple que ça et une résolution graphique est même nécessaire

regarde dans le Cohen si tu veux (complément H chapitre I ).

Mea culpa, la prochaine fois, je ferai autre chose que d'essayer de me souvenir de la solution

**Seirios** · 13/08/2007, 14h19

Dans le cas que tu viens de traiter par exemple la dérivée de la fonction d'onde n'est pas continue, ce qui est dû en fait à la présence du potentiel infini.

Mais qu'est-ce que cela change exactement si la dérivée de la fonction d'onde n'est pas continue ?

invitea774bcd7 · 13/08/2007, 14h32

Si la dérivée de Psi n'est pas continue, sa dérivée seconde est infinie. Cet infini va « compenser » le potentiel infini dans l'eq. de Schrödinger.

Bon, c'est avec les mains hein

Mais c'est ça. (c'est la même chose que le cusp, si tu connais

)

invite93279690 · 13/08/2007, 15h48

Envoyé par Phys2

Mais qu'est-ce que cela change exactement si la dérivée de la fonction d'onde n'est pas continue ?

ça ne change rien en particulier dans ton cas mais pour d'autres systèmes cela peut être important.
Mais bon, d'un point de vue physique ça souligne quand même qu'il y a une discontinuité dans la densité de courant de probabilité par exemple.

**Seirios** · 13/08/2007, 19h56

D'accord, merci

**Seirios** · 16/08/2007, 13h08

Une petite question en passant : Que représente exactement la densité de probabilité radiale ?

D'après ce que j'ai compris, la densité de probabilité est la probabilité de présence dans un volume infinitésimal dV ; et la densité de probabilité radiale serait la probabilité de présence à une distance dr ? (je ne pense pas que cela soit ça, parce que ça induirait une symétrie sphérique...)

invite6bfcb91c · 16/08/2007, 13h27

Envoyé par Phys2

Une petite question en passant : Que représente exactement la densité de probabilité radiale ?

D'après ce que j'ai compris, la densité de probabilité est la probabilité de présence dans un volume infinitésimal dV ; et la densité de probabilité radiale serait la probabilité de présence à une distance dr ? (je ne pense pas que cela soit ça, parce que ça induirait une symétrie sphérique...)

Qu'appelle tu exactement densité de probabilité radiale ?
Si tu parles de l'atome d'hydrogene et de r²| $\text{[math]}$ |² ou $\text{[math]}$ est une fonction propre de l'hamiltonien décrivant l'interaction proton-électron (soit un polynome de Laguerre*une harmonique sphérique) alors cette quantité représente la probabilité que l'électron se trouve dans une sphere de rayon r.

**Seirios** · 16/08/2007, 13h48

Qu'appelle tu exactement densité de probabilité radiale ?

Le problème c'est que justement je ne sais pas très bien

Dans mon cours, il donne par exemple la densité de probabilité radiale dans le cadre de l'état fondamental de l'atome d'hydrogène comme suit :

$\text{[math]}$

Avec a le rayon de Bohr.

invite93279690 · 16/08/2007, 13h59

Envoyé par Phys2

Le problème c'est que justement je ne sais pas très bien

Dans mon cours, il donne par exemple la densité de probabilité radiale dans le cadre de l'état fondamental de l'atome d'hydrogène comme suit :

$\text{[math]}$

Avec a le rayon de Bohr.

Par définition la densité de probabilité radiale $\text{[math]}$ est telle que :
$\text{[math]}$ est la probabilité pour la particule d'être à la distance $\text{[math]}$ du noyau à $\text{[math]}$ près.
Et cela implique donc que si ta fonction d'onde s'écrit :
$\text{[math]}$
alors
$\text{[math]}$

Dans ton exemple (état fondamental de l'hydrogène), la fonction $\text{[math]}$

**Seirios** · 16/08/2007, 14h08

Mais dans le cas d'un atome d'hydrogène qui n'est pas dans l'état fondamental, est-ce pertinent d'utiliser une densité de probabilité radiale ? Car lorsque n=1, on voit que l'orbitale de l'électron est représentée par une sphère, mais ce n'est pas le cas lorsque n=2 par exemple. Cela a-t-il une incidence ?

inviteb836950d · 16/08/2007, 14h18

Envoyé par Phys2

Le problème c'est que justement je ne sais pas très bien

Dans mon cours, il donne par exemple la densité de probabilité radiale dans le cadre de l'état fondamental de l'atome d'hydrogène comme suit :

$\text{[math]}$

Avec a le rayon de Bohr.

La densité de proba est

$\text{[math]}$

En coordonnée sphérique l'élément de volume s'écrit :

$\text{[math]}$

Pour avoir la probabilité entre r et r+dr il faut intégrer d³P sur les variables $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

La densité de proba radiale est dP/dr

Il y a un cas particulier : si $\text{[math]}$ ne dépend pas de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

alors $\text{[math]}$ sort de l'intégrale et on a simplement :

$\text{[math]}$

voila voila...
(si j'ai pas fait d'erreur ...

)

**Seirios** · 16/08/2007, 14h27

Donc si $\text{[math]}$ dépend de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ en dépend également ?

invite93279690 · 16/08/2007, 14h38

Envoyé par Phys2

Donc si $\text{[math]}$ dépend de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ en dépend également ?

Non car il faut intégrer par rapport à tous les angles possibles , c'est ce que t'a expliquer Philou21 en mettant un $\text{[math]}$ dans son $\text{[math]}$

invite1c3dc18e · 16/08/2007, 14h42

Envoyé par Phys2

Mais qu'est-ce que cela change exactement si la dérivée de la fonction d'onde n'est pas continue ?

aïe aïe, tu saurais ça si tu ne brûlais pas aussi inconsidérément les étapes. Ca doit être écrit au programme de math de la seconde (un an avant le Bac français je veux dire, en belgique c'est la 5ème année) et dois tu cherches les subtilités de l'équation de Schrödinger

++

**Seirios** · 16/08/2007, 14h50

Envoyé par Anacarsis_47

aïe aïe, tu saurais ça si tu ne brûlais pas aussi inconsidérément les étapes. Ca doit être écrit au programme de math de la seconde

Non on ne voit pas cela en seconde, mais en première

Le problème c'était que je vois ce que c'est d'un point de vue mathématique, mais pas d'un point de vue physique...

Envoyé par gatsu

Non car il faut intégrer par rapport à tous les angles possibles

Mais dans ce cas, on devrait avoir une valeur de probabilité de présence pour une sphère de rayon r (à dr près) autour du noyau de l'hydrogène. On a donc une symétrie sphérique, ce qui n'est pas le cas lorsque l'atome n'est pas dans l'état fondamental...

invite93279690 · 16/08/2007, 14h53

Envoyé par Anacarsis_47

aïe aïe, tu saurais ça si tu ne brûlais pas aussi inconsidérément les étapes. Ca doit être écrit au programme de math de la seconde (un an avant le Bac français je veux dire, en belgique c'est la 5ème année) et dois tu cherches les subtilités de l'équation de Schrödinger

++

En France, la continuité n'est presque pas abordée au lycée (i.e. avant le bac), on ne se soucie donc pas trop de faire ni des prolongement analytiques ni même des résolutions d'équations différentielles avec des racordements.

Equation de Schrödinger pour un mouvement unidimensionnel

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