congruences

[kaderben]

Bonjour
Voici une question, d'un exo, dont je ne suis pas sûr de ma réponse

n est un entier, p premier impair
Dans les questions intermédiaires j'ai démonté que:
2^(2^n)=-1(p)
2^(2^(n+1))=1(p)

question:démontrer par l'absurde que pour tout entier q, 0<=q<=n, 2^(2^q) n'est pas congru à 1 modulo p

Supposons que 2^(2^q)=1(p)
mais q<=n et 2^(2^n)=-1(p) qui contredit l'hypothèse précédente.
donc 2^(2^q) n'est pas congru à 1 modulo p

Cela me parait trop léger mais je n'arrive pas à l'expliquer...

Merci pour vos commentaires.
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[gg0]

Bonsoir.

Il manque seulement la justification de " qui contredit l'hypothèse précédente" : Pourquoi cela contredit-il ? Soit tu le sais, il te suffit de présenter le calcul qui justifie, soit tu ne le sais pas et tu triches.
Comme tu ne triches pas, tu peux donner ici le calcul ...

Cordialement.

[kaderben]

Quand j'étais petit en primaire, j'ai triché une ou deux fois et j'étais récompensé par une baffe... Maintenant je ne triche plus !
Je me rends compte que je me suis mal exprimé. Je reprends:
Supposons que 2^(2^q)=1(p)
mais q<=n et 2^(2^n)=-1(p).
Donc l'hypotèse 2^(2^q)=1(p) qu'on a supposée vraie contredit 2^(2^n)=-1(p) qui a été démontée précédemment

donc 2^(2^q) n'est pas congru à 1 modulo p.

[gg0]

Tu ne dis toujours pas pourquoi "l'hypotèse 2^(2^q)=1(p) qu'on a supposée vraie contredit 2^(2^n)=-1(p)".
Tu rallonges le texte sans l'éclaircir. Tu as cette fois dit 2 fois de suite la même chose !
Je commence à me demander si tu sais pourquoi ça contredit ...
Dit autrement : "l'hypotèse 2^(2^q)=1(p) qu'on a supposée vraie contredit 2^(2^n)=-1(p)" Je ne te crois pas ! (*)

Cordialement.

(*) c'est une posture, moi je sais pourquoi, mais comme c'est toi le prouveur, tu dois pouvoir convaincre celui qui ne te croit pas mais qui admet les mêmes règles de maths que tout le monde.

NB : Il n'y a pas de sens moral au mot "tricher" : Celui qui n'applique pas les règles triche.

[A voir en vidéo sur Futura]

[kaderben]

Peut être que je triche inconsciemment!
on a démontré que 2^(2^n)=-1(p).
Puisque q peut être égal à n, 2^(2^q) ne peut être congru qu'à -1 modulo p.
Je ne peux pas être plus clair que ça...

malheureusement je ne peux pas faire de miracles!

[Amanuensis]

Puisque q peut être égal à n, 2^(2^q) ne peut être congru qu'à -1 modulo p.

Malheureusement c'est faux. Si 2^(2^q) était égal à -1 modulo p, alors 2^(2^n) serait égal à 1 modulo p, ce qui est une contradiction.

2^(2^q) n'est ni 1 ni -1 modulo p. gg0 a eu raison de vous faire expliciter votre raisonnement, puisqu'il se révèle incorrect.

Suffit de prendre un cas suffisamment simple. Prenons p=17, alors 2^4=-1 [p], on peut vérifier que la puissance précédente, 2^2, n'est égale ni à 1 ni à -1 modulo 17

[kaderben]

Oui, je constate les dégâts que je cause, mais je ne vois pas quelle piste que je dois prendre!
marci.

[Amanuensis]

À relire la discussion, j'ai l'impression que mon diagnostic était incorrect. Ne serait-ce pas plutôt une erreur de raisonnement sur les quantificateurs?

On peut lire votre raisonnement comme disant que puisque UNE valeur q entre 0 et n est telle que 2^(2^q) n'est pas 1 [p], alors on a répondu à la question. Mais ce n'est pas ce qui est demandé, qui est de montrer que TOUTE les valeurs... C'est à dire 2, 2^2, 2^4, 2^8, etc. jusqu'à 2^2^n, sont différentes de 1 [p].

Pour démontrer un "montrer que TOUTES les valeurs ont la propriété P", une méthode courante est l'absurde, ce qui est "supposer que UNE d'entre elle ait la propriété P, et montrer alors qu'on arrive à une contradiction".

[kaderben]

Je vois le cheminement d'un raisonnement par l'absurde.
Dans notre cas:
on a démontré que 2^(2^n)=-1(p), donc c'est considéré comme vrai
Puis partant de la suppostion: 2^(2^q) =1(p) il faut arriver à 2^(2^n)=1(p)
et là il y a une contradiction.
Mais je ne vois pas comment arriver à 2^(2^n)=1(p)

[Amanuensis]

Que vaut le carré de (1 modulo p) modulo p ?

[kaderben]

Je ne comprends pas bien: (1 modulo p) modulo p

exemple: a congru 1 modulo p ,je le note:a=1(p)

[Amanuensis]

Si a = 1 (p), combien vaut a² (p)?

Qu'en conclure si on prend a^(2^k) (p) ?

(Perso, je préfère l'écriture a=1 [p], moins de risques d'ambiguïté.)

[gg0]

Finalement, Kederben,

tu trichais bien (inconsciemment). Le noeud du problème est (avec ) de trouver quel est le lien entre et . Ce qui n'est pas très difficile (prend q=3 et n=5, par exemple). Surtout si on connaît les règles des puissances vues en collège et qu'on compare 2^q et 2ⁿ.
Tu montreras ainsi facilement que (ce que tu affirmais sans preuve).

Cordialement.

[kaderben]

Je réponds d'abord à Amanuensis:
Si a = 1 (p), combien vaut a² (p)?
a^2=1^2(p) soit a^2=1(p)

Qu'en conclure si on prend a^(2^k) (p) ?
a^(2^k)=1^(2^k)=1(p) soit a^(2^k)=1(p)

On peut aussi conclure que a^2(p)=a^(2^k)(p)=1(p)

[kaderben]

Je réponds a ggO maintenant
Oui, je crois que j'y suis.
2^(2^3)=1(p)
[2^(2^3)]^(5-3)=1^(5-3)(p)=1(p)

2^(2^5)=1(p)
Cela veut dire que:[2^(2^q)]^(n-q)=2^(2^n)(p)=1(p)
soit :2^(2^q)=1(p) implique 2^(2^n)=1(p) et c'est là la contradiction.

Pour information:dans le secondaire on s'arrête à une puissance de puissancea^n)^m=a^(n*m)
Personnellement je n'ai jamais manipulé ce genre de puissans 2^(2^n)
En tout cas j'ai appris des choses.

[gg0]

Désolé,

mais "[2^(2^q)]^(n-q)=2^(2^n)(p)" est faux (voir les règles sur les puissances).

Ce n'est pas parce que dans le secondaire tu n'as fait que des choses simples que tu dois te dispenser de faire des choses plus compliquées maintenant et surtout de vérifier que tu appliques bien les règles.
En particulier :
Donc
Et

Je n'ai pas trop compris ton début avec 2^(2^3) [=2^8] où tu n'as pas sérieusement cherché à comparer avec 2^(2^5) = 2^32

Cordialement.

[kaderben]

J'ai écrit tout à fait autre chose.
Le début: "[2^(2^3)]^(2^(5-3)=2^(2^3*2^5*2^(-3))(p)=2^(2^5)(p)
et cela me donne l'idée d'écrire [(2^(2^q)]^2(n-q)=1(p)
soit 2^(2^n)=1(p).
J'espère que "mon cauchemard est fini!"
Merci pour tout.

[kaderben]

Encore mauvaise écriture
il faut lire:
:[2^(2^3)]^(2^(5-3))
[2^(2^q)]^(2^(n-q))

[Amanuensis]

C'est bien ça.

On peut écrire le raisonnement autrement, peut-être plus facile à suivre (toutes les égalités sont modulo p, je ne l'explicite pas) :

Si 2^(2^q) = 1, alors (2^(2^q))^2 = 1

Or on a (2^(2^q))^2 = 2^(2^q x 2) = 2^(2^(q+1))

Par récurrence on obtient : 2^(2^q) = 1 => pour tout r>=q, 2^(2^r) = 1, ce qui s'applique en particulier à n

(En LaTeX, )

[kaderben]

Bonjour
Je pense qu'il y a une légère différence entre le cheminement traditionnel (en tout cas pour moi) et ton cheminement
J'ai pratiqué la récurrence surtout sur les suites en vérifiant si la propriété P(n) est vraie au premier rang, puis la supposer vraie au rang n, puis la démontrer au rang n+1
Mais j'arrive à décoder ce que tu as écrit.
Merci