surface/volume

[issaluce]

bonsoir,

en réfléchissant sur le calcul de la surface de différents volumes, je me suis rendu compte d'une chose assez contre intuitive : prenons par exemple un quelconque volume sans irrégularité.

pour l'exemple une sphère parfaite.

calculons sa superficie S = 4(pi)r², et son volume V=4/3(pi)r^3

exemple pour R=6000 -> S= 4*(pi)36 000 000 V=216 000 000 000 V/S=R/3=6000/3=2000
=144 000 000*(pi) =288 000 000 000*(pi)

1-séparons la sphère en deux, conservons une moitié :

on a logiquement S/2= (72 000 000+R²)*(pi)=72 000 000 +36 000 000=108 000 000 et V/2=144 000 000 000*(pi) ainsi que V/S=144 000 000 000/108 000 000=4000/3=2/3*(R)

on a donc enlevé la moitié du volume mais 1/3 de la surface

2-reprenons la sphère entière et enlevons la même quantité de surface que 1- par soustraction du volume correspondant avec la contrainte que la surface résultante de cette soustraction de volume ne soit pas plane, mais courbée en direction du centre de la sphère : obtient un cratère dans une sphère parfaite...

rien ne vous interpelle ?

on se trouve d'une part avec une surface égale "sphère entière" (aucun volume de soustrait) et volume soustrait pour une courbure de cratère égal à la courbure de la sphère...pas forcément étonnant...sauf que si on enlève moins de volume que celui soustrait pour obtenir le cratère, mais cette fois-ci selon un plan et non une courbure comme pour le cratère, la surface résultante est la moindre de tous les cas:

en résumé : -aucune soustraction de volume : Superficie=S
-soustraction de volume de courbure inverse : Superficie=S
-soustraction d'un demi volume de courbure inverse mais selon un plan : Superficie<S

en conclusion :

-soustraire du volume augmente la superficie si et seulement si on ne la soustrait pas selon un plan ou selon un plan de courbure inverse à la courbure du volume considéré...


bonne fin de nuit et de beaux rèves...
-----

[Sephiralo]

Salut,

bonsoir,

en réfléchissant sur le calcul de la surface de différents volumes, je me suis rendu compte d'une chose assez contre intuitive : prenons par exemple un quelconque volume sans irrégularité.

pour l'exemple une sphère parfaite.

calculons sa superficie S = 4(pi)r², et son volume V=4/3(pi)r^3

exemple pour R=6000 -> S= 4*(pi)36 000 000 V=216 000 000 000 V/S=R/3=6000/3=2000
=144 000 000*(pi) =288 000 000 000*(pi)

1-séparons la sphère en deux, conservons une moitié :

on a logiquement S/2= (72 000 000+R²)*(pi)=72 000 000 +36 000 000=108 000 000 et V/2=144 000 000 000*(pi) ainsi que V/S=144 000 000 000/108 000 000=4000/3=2/3*(R)

je ne suis pas d'accord pour la surface, il ne suffit pas de diviser la surface précédent par 2 pour obtenir la nouvelle, il faut aussi tenir compte de la surface "plate" qui "ferme" la demi sphère que tu obtient ! Tu obtient donc S'=S/2 + pi x r² = 3pi x r² environ égal a 340 000 !

Du coup je ne suis pas sur de ta conclusion vu que tu t'es trompé pour le calcul de surface. A moins que ce soit moi qui ait fait n'importe quoi ! ^^

Pour le reste, je laisse sa aux plus forts que moi !

A+

[issaluce]

Salut,


je ne suis pas d'accord pour la surface, il ne suffit pas de diviser la surface précédent par 2 pour obtenir la nouvelle, il faut aussi tenir compte de la surface "plate" qui "ferme" la demi sphère que tu obtient ! Tu obtient donc S'=S/2 + pi x r² = 3pi x r² environ égal a 340 000 !

Du coup je ne suis pas sur de ta conclusion vu que tu t'es trompé pour le calcul de surface. A moins que ce soit moi qui ait fait n'importe quoi ! ^^

Pour le reste, je laisse sa aux plus forts que moi !

A+

faute de frappe pour S/2 si tu relis le calcul est bon, sauf que cela ne correspond pas à S/2, d'ailleur je dis bien que 1/3 de la surface a été enlevé donc à la place de S/2, il s'agit de (2/3)*S, sinon ça ne change rien...

[Snowey]

Moi je n'ai pas trop compris pourquoi seulement 1/3 de la surface est conservée ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[topmath]

Pas mal du tout cette discussion et c'est pas facile (passionse)

[Verdurin]

Bonjour,
il n'y a guère lieu de s'étonner.
Quand on change la forme le rapport surface/volume change.

On peut remarquer qu'il change même pour des solides semblables, en fonction de la dimension.
Quand on passe d'une sphère de rayon 1 à une sphère de rayon 2 le rapport surface/volume est divisé par 2.

[topmath]

bonjour :
plus de précision Vredurin :

[topmath]

Bonjour tout le monde moi aussi de l'avis de Snoey rien compris , mais toue fois pour que la discussion converge je reprend tout :
Soi une sphère régulière de volume V et de rayon R on coupe cette sphère par un plan (P) qui passe par le centre de celle ci , et la divise en deux demi-sphères égaux.
Avant cette division par le plan le volume de la sphère et V=(4*pi*R^3)/3 sa surface S (S: est s'appelle surface en révolution) et par la suite S=4*pi*R^2 .
Après cette division par le plan le volume de la sphère et V=(4*pi*R^3)/3 est reste inchangée , c'est à dire avant ou après la division le volume est conserver dans ça valeur.
constatation : Après la division nous avons deux demis sphères égaux en surface (S1,S2 surface de la demi-sphère 1 respectivement 2), S1=S2=(4*pi*R^2)+(pi*R^2) , et la justement je partage l'avis de Sephiralo sur la surface de chaque demi-sphère qui augmente de (pi*R^2).

Conclusion : Lorsqu'on veux découper une sphère , on deux partis égales ,le volume de celle ci est conserver après le découpage ,mais la surface de cette dernière change est augment de (2*pi*R^2).

Généralisation : tout volume régulier d'un solide et conserver en valeur, avant et après un découpage par un plan (si je puisse dire) mais augmente en surface uniquement après découpage de ce solide .

Remarque : J’espère que j'ai bien compris ce que veux exprimer issaluce ,je laisse tout le soin à la critique des membres plus chevronnés que moi merci .

[danyvio]

bonjour :
plus de précision Vredurin :

Le rapport S/V pour la sphère = 3/R donc proportionnel à l'inverse du rayon.
C'est la même chose quand on épluche des pommes de terre : on passe moins de temps à éplucher un kg de grosses patates que un kg de petites. Pourtant on a le même volume global, mais moins d'épluchures.

[topmath]

bonsoir tout le monde,voici l'exemple de danyvio qui résume en deux mots les conséquence par un style simple notre discussion merci encore danyvio .

[Snowey]

Ah, mais j'ai l'impression qu'on ne parle pas tous de la même chose ...
Je pense que l'opération "découper une sphère en 2" conserve les quantités totales (volume et aire), en revanche je suis certain qu'en remodelant l'objet géométrique obtenu après cette opération on peut obtenir des choses fort variées (paradoxe de Tarski ?).

En effet, si je prends une sphère de rayon plongée dans l'espace ambiant centrée à l'origine, elle possède un volume et une surface .
En découpant (par le plan x=0), on obtient des demi-sphères de volume et aussi de surface (même calcul intégral) .
Il n'y a pas de à ajouter (longueur de l'arc découpé ?), car l'intégrale ne "mesure pas" cette partie: .

Si en revanche on veut reformer des sphères à partir des demi- sphères obtenues alors c'est un tout autre problème (et en effet la formule de danyvio permet de comprendre les changements).

[topmath]

bonjour ici en déforme rien , juste en discute pour arriver à une conclusion crédible est vrai et je croix qu'on arrive bref:
issaluce à fais une observation plus tard après Snowey à fait aussi une belle conclusion et je l'est vérifier sur internet cette hypothèse s'appelle Paradoxe de Banach-Tarski pour
des espaces usuelles supérieure ou égale à R^n.

[danyvio]

(et en effet la formule de danyvio permet de comprendre les changements).

La formule de Danyvio au même rang que le paradoxe de Banach ! Quel honneur !
Et vive le théorème du choix qui a permis ce rapprochement

[topmath]

Félicitation danyvio

[issaluce]

bonsoir,

je n'ai fait aucune erreur de calcul si ce n'est une faute de frappe sur le fait de dire qu'il y a division par deux (selon un plan, on enlève 2/3 de la surface : et je trouve ce rapport constant entre une portion de périmètre de cercle et la longueur de la corde aux deux points de cette portion de périmètre):

je réitère mon étonnement de manière plus explicite si l'on prend un disque, deux points du périmètre inférieur à D, et que l'on inverse cette part de périmètre symétriquement à la corde des deux points de cette part de périmètre, on obtient pour la même valeur de périmètre total du cercle -que l'on inverse ou pas symétriquement à la corde-, si l'on enlève cette partie de périmètre et que l'on remplace par la corde, le truc qui m'étonne c'est que : si on fait un bilan sur la surface dans les différents cas : on obtient un périmètre équivalent si l'on enlève ou pas une portion d'aire de corde, on a le même périmètre pour le disque si l'on enlève une partie de la surface, en respectant la courbure du disque, alors que si j'enlève une surface suivant la corde à la portion de périmètre enlevé, j'enlève moins de surface, mais le périmètre du disque comprenant la corde est moindre...

j'ai commencé par une sphère car, avec cette constatation il apparaît que ( à l'instar de la personne qui a évoqué le rapport taille de pomme de terre/épluchure...) plus l'on enlève de volume, plus on augmente sa surface : ce qui est contre intuitif là-dedans c'est que cela est exact mais pas n'importe comment...en effet, cela fonctionne si on soustrait du volume selon une courbe et non un plan :

je m'étais fait la réflexion que plus une planète reçoit d'impact de météorite, plus cela augmente la surface de celle-ci...mais seulement parce que l'impact forme un cratère ( déformation de la surface du corps céleste selon une courbe)

autre chose étonnante : si une sphère sans irrégularité est impacté selon une déformation exactement inverse à la courbure, la surface résultante reste inchangée...

si on fait un parallèle avec une planète, de petits cratères augmente plus la quantité de surface, qu'un énorme cratère de courbure inverse à la planète considérée...

quand même assez contre-intuitif, non?

[gg0]

Non !

Ce n'est contre intuitif que si on considère que volume et surface sont liés. Or il est très facile de se rendre compte que pour un volume donné la surface peut être aussi grande que l'on veut (à partir de la surface minimale sphérique.

Cordialement.

[martini_bird]

Salut,

Non !

Ce n'est contre intuitif que si on considère que volume et surface sont liés.

gg0, je te trouve bien péremptoire : pour les solides usuels et ceux qui se trouvent dans le « vrai monde » , le volume et la surface sont très souvent liés. Il s'agit donc bien de quelque chose de « contre-intuitif » (pour ne pas dire « paradoxal », épithète qui étymologiquement conviendrait mieux s'il n'était pas injustement connoté, bref).

Or il est très facile de se rendre compte que pour un volume donné la surface peut être aussi grande que l'on veut (à partir de la surface minimale sphérique.

C'est très facile, mais un exemple peut aider : un article parmi de nombreux autres sur le flocon de Von Koch, d'aire finie mais de périmètre « infini ».

En passant, ceci n'a rien à voir avec Banach-Tarski (paradoxe s'il en est - un de ceux pour lesquels gg0 pourrait concéder le caractère contre-intuitif ).

Encore en passant, pour topmath : pourrais-tu cesser tes interventions stériles, s'il te plaît ?

Cordialement.

[Tryss]

gg0, je te trouve bien péremptoire : pour les solides usuels et ceux qui se trouvent dans le « vrai monde » , le volume et la surface sont très souvent liés.

Oui et non... Par exemple la plupart des objets (du vrai monde) "plats" on un rapport surface/volume beaucoup plus grand qu'un objet "compact".

Et pour "décompacifier" un objet compact, rien ne vaut un bon rouleau compresseur

[gg0]

Martini_bird,

si tu appelles péremptoire celui qui rappelle l'expérience commune (acquise très tôt sur le problème identique des périmètres et surfaces de rectangles), il y a beaucoup de gens péremptoires.
Il est évident qu'un ballon de foot dégonflé et applati a bien moins de volume pour la même surface que le même ballon une fois gonflé. 3 calculs particuliers n'y feront rien !
Par contre, si on se limite à des homothéties, bien évidemment (propriété classique) il y aura un lien cube/carré. Mais c'est aussi ultra-classique, et je suis d'accord, n'a rien à voir avec le paradoxe de Banach-Tarski, qui lui même n'a rien à voir avec la notion de volume.

Cordialement.

[danyvio]

Plus personne ne parle de mes patates

[gg0]

Effectivement, Danyvio,

tes patates sont évidentes, ... pour celui qui cuisine. Ce qui n'est pas le cas de beaucoup d'hommes !
C'est pourquoi j'ai illustré autrement.

Cordialement

[topmath]

tout à fait avec vous sur le principe générale

[Tryss]

Effectivement, Danyvio,

tes patates sont évidentes, ... pour celui qui cuisine. Ce qui n'est pas le cas de beaucoup d'hommes !
C'est pourquoi j'ai illustré autrement.

Cordialement

Pour l'homme, c'est plus simple : le volume d'une bière pleine est plus grand que celui d'une bière vide, pourtant la surface augmente