Valeurs propres de la matrice hessienne - principe de base

[invite39e2954c]

Bonjour,

Encore une questions en maths.
Pourquoi on étudie le signe des valeurs propres de la matrice hessienne. C'est certainement un calcul matriciel de base, car c'est le point qu'on saute toujours dans les démonstration. En fait je ne comprend pas en quoi le signe de (H désignant la matrice hessienne) est le même que celui des valeurs propres.

Merci.
-----

[Seirios]

Bonjour,

Etudier le signe des valeurs propres d'une matrice hessienne permet de déterminer la nature de points critiques (voir par exemple la page de wikipédia).

Ensuite, si est un vecteur propre de valeur propre associée , alors donc est bien du même signe que .

[invite39e2954c]

Bonjour,

Etudier le signe des valeurs propres d'une matrice hessienne permet de déterminer la nature de points critiques (voir par exemple la page de wikipédia).

Ensuite, si est un vecteur propre de valeur propre associée , alors donc est bien du même signe que .

Bonjour,
Merci pour ta réponse. J'avais déjà regardé l'article de wikipédia mais il n'explique pas justement pourquoi.
Pour ton explication, comment tu sais que est un vecteur propre. Tu plus tu inverse le vecteur et sa transposée, est-ce que ça ne change rien ?

Une explication que je viens de trouver mais je ne sais pas si elle est bonne : La matrice hessienne est une matrice diagonale dans le point (x0, y0), donc les valeurs propres se trouvent sur la diagonale.

Un dernier point : pourquoi on doit prouver que la matrice réelle symétrique est à valeurs propres réelles et qu'elle est diagonalisable ?

N.B : Dans cas de l'étude des extréma au point x0, X = (x-x0 y-y0)

[invite39e2954c]

Je viens de dire une bêtise. La matrice hessienne n'est pas diagonale en les points stationnaires. Ça aurait été trop simple sinon.
Mais je ne vois toujours pas la relation l'existence (et la nature) des extrema et le signe des valeurs propres.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Pour ton explication, comment tu sais que est un vecteur propre.

Parce que je l'ai supposé. Sinon, le signe de peut déprendre du vecteur . Néanmoins, puisque est diagonalisable (puisque symétrique), si les valeurs propres sont toutes positives (resp. négatives), alors est positif (resp. négatif) pour tout vecteur .

Tu plus tu inverse le vecteur et sa transposée, est-ce que ça ne change rien ?

Cela dépend si est un vecteur ligne ou un vecteur colonne.

Je viens de dire une bêtise. La matrice hessienne n'est pas diagonale en les points stationnaires. Ça aurait été trop simple sinon.
Mais je ne vois toujours pas la relation l'existence (et la nature) des extrema et le signe des valeurs propres.

Cela vient de l'intervention de la hessienne dans le développement de Taylor d'ordre deux, comme mentionné ici. Ainsi, la hessienne donne des renseignements sur la position relative du graphe de la fonction par rapport au plan tangent.

[invite39e2954c]

Bonjour,
J'ai un peu l'impression de tourner en rond.
Voici la formule utilisée dans mon cours et qui ressemble un peu à celle sur wikipédia.



Avec

La nature et l'existence d'extréma locaux dépend du signe de Ef(x0, y0). Jusque là ça va.
Le signe de Ef est déterminé par la répartition des signes des valeurs propres de H, ça je ne comprend pas, sachant que :

Il y a une précision supplémentaire dans le cours :

Peut-etre qu'on peut tirer des conclusion de cette égalité

[invite39e2954c]

Il y a une précision supplémentaire dans le cours :

Peut-être qu'on peut tirer des conclusion de cette égalité

Voilà la formule :


Des idées s'il vous plait ?

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Je vais essayer de répondre à vos question (bien qu'il me semble que cela va dans tous les sens). En gros, vous vous demandez quelle est l'utilité d'étudier les valeurs propres de la Hessienne ? Détrompez-moi si ce n'est pas le cas.

Sinon, dans cette hypothèse, on a:

Soit un vecteur quelconque , la hessienne . Soit encore l'ensemble des valeurs propres de la hessienne avec l'ensemble des valeurs propres correspondantes. On a donc par définition:

Comme les vecteurs propres forment une base (conventionnellement orthonormée) de l'espace, on peut décomposer X comme suit: (produit scalaire).

On peut alors calculer:

Comme , le signe de ne dépend que des valeurs propres de H.

Les valeurs propres de la Hessienne informent du caractère concave () ou convexe () de la fonction au point considéré dans les directions des vecteurs propres correspondants. Par exemple si, en un extremum:

1. Toutes les valeurs propres sont négatives --> maximum local.
2. Toutes les valeurs propres sont positives --> minimum local.
3. Il y a des valeurs propres positives et négatives --> point de selle.

Un dernier point : pourquoi on doit prouver que la matrice réelle symétrique est à valeurs propres réelles et qu'elle est diagonalisable ?

Le théorème spectral montre que toute matrice réelle symétrique est diagonalisable et possède des valeurs propres réelles. Si elles sont complexes, l'analyse ci-dessus ne tient plus. C'est le cas pour la matrice réelle (non-symétrique):

Une condition suffisante pour garantir le caractère symétrique de la Hessienne d'une fonction est que cette fonction soit de classe C² au point considéré (les dérivées secondes existent et sont continues).

[Seirios]

Voici la formule utilisée dans mon cours et qui ressemble un peu à celle sur wikipédia.



Avec

La nature et l'existence d'extréma locaux dépend du signe de Ef(x0, y0). Jusque là ça va.

Cette formule est valable si est un extremum local de (de sorte que sa différentielle s'annule en ce point) et seulement à l'ordre deux, c'est-à-dire qu'il faudrait ajouter un pour qu'il y ait vraiment égalité.

Visiblement, tu n'as pas une idée clair de ton cours, peut-être devrais-tu le relire attentivement.

Le signe de Ef est déterminé par la répartition des signes des valeurs propres de H, ça je ne comprend pas, sachant que :

Cette partie est expliquée par Paraboloide_Hyperbolique.

[invite39e2954c]

Bonjour,
@Paraboloide Merci, c'est la preuve que je cherchais. Je vais y réfléchir avant de répondre.

Cette formule est valable si est un extremum local de (de sorte que sa différentielle s'annule en ce point) et seulement à l'ordre deux, c'est-à-dire qu'il faudrait ajouter un pour qu'il y ait vraiment égalité.

En effet, je m'étais trompé. La matrice Hessienne est calculée non pas en le point stationnaire mais en un point intermédiaire. c-à-d : avec
A ce propos, j'ai une question : le développement limité de Taylor suivant, au voisinage d'un point stationnaire
Est-ce bien un développement limité à l'ordre 2 (c'est spécifié ainsi dans le cours, mais moi j'aurais dit que c'est un DL à l'ordre 1..)
Et c'est vrai que je ne maitrise pas mon cours, mais c'est parce que les explications n'y sont pas toujours assez détaillées =/.

[gg0]

C'est bien à l'ordre 2 (différentielles seconde), mais les termes d'ordre 1 n'apparaissent pas : ils sont nuls puisque c'est un point stationnaire.

Cordialement.

[invite39e2954c]

Bonjour et merci pour vos réponses,

On peut alors calculer:

Comme , le signe de ne dépend que des valeurs propres de H.

Les valeurs propres de la Hessienne informent du caractère concave () ou convexe () de la fonction au point considéré dans les directions des vecteurs propres correspondants. Par exemple si, en un extremum:

1. Toutes les valeurs propres sont négatives --> maximum local.
2. Toutes les valeurs propres sont positives --> minimum local.
3. Il y a des valeurs propres positives et négatives --> point de selle.

D'après la dernière égalité, je conclus que dans le cas d'une étude dans le cas d'une fonction définie dans on peut étendre l'étude au cas ou . Ceci implique, en effet, qu'au moins une des deux valeurs propres est nulle. Il suffit alors d'étudier le signe de la somme des éléments de la trace ( toujours au point . Si celui-ci est positif (respectivement négatif), alors une des deux valeurs propres est positive(resp.négative) tandis que l'autre est nulle. Ce qui veut dire qu'on a un maximum local (resp. un minimum local). Si le signe de la trace est nul, alors la fonction est localement constante, vue qu'en remplaçant dans ta formule, on a un reste nul autour de dans le DL de Taylor autour de l'extremum.
Il n'y a pas de contradiction là-dedans ?! car j'ai un contre exemple ou le déterminant est nul et l'on obtient quand même un point selle. De plus, dans la pratique on n'étend pas l'étude au cas ou le déterminant est nul (on analyse à la hache..) donc je dois me tromper quelque part.

[Paraboloide_Hyperbolique]

D'après la dernière égalité, je conclus que dans le cas d'une étude dans le cas d'une fonction définie dans on peut étendre l'étude au cas ou . Ceci implique, en effet, qu'au moins une des deux valeurs propres est nulle.

Correct.

Il suffit alors d'étudier le signe de la trace ( toujours au point . Si celui-ci est positif (respectivement négatif), alors une des deux valeurs propres est positive(resp.négative) tandis que l'autre est nulle.

Toujours correct.

Ce qui veut dire qu'on a un maximum local (resp. un minimum local).

Non, comme, pour la valeur propre nulle, -0 = +0, vous ne savez pas si c'est un maximum local (+0) ou un minimum local (-0).

Si le signe de la trace est nul, alors la fonction est localement constante.

Oui.

vue qu'en remplaçant dans ta formule, on a un reste nul autour de dans le DL de Taylor autour de l'extremum.

Non: on n'est pas dans le cas d'un extremum, mais dans celui d'un point critique/stationnaire (ce qui n'est pas la même chose).

Il n'y a pas de contradiction là-dedans ?! car j'ai un contre exemple ou le déterminant est nul et l'on obtient quand même un point selle. De plus, dans la pratique on n'étend pas l'étude au cas ou le déterminant est nul (on analyse à la hache..) donc je dois me tromper quelque part.

Vous vous êtes bien trompé. Il n'y a pas de contradiction, le point critique s'avère bien être un point de selle et non un extremum.
Je mettrais votre erreur dans la catégorie des "bonnes erreurs" car elle reflète le fait que vous vous posez de bonnes questions et que vous réfléchissez bien sur les notions que vous étudiez.

[invite39e2954c]

Bonsoir,
Si j'ai bien compris,

Correct.

Si le signe de la trace est nul, alors la fonction est localement constante.

Oui.

Peut-on ici ajouter que cela n'exclut pas la possibilité d'avoir un point de selle ? Car au mieux on aurait effectivement un extremum non strict (ou simplement une fonctions constante (géométriquement, un plan)), au pire on aurait une fonction constante sur les axes seulement et donc un point de selle bien clair géométriquement.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,
Si j'ai bien compris,

Peut-on ici ajouter que cela n'exclut pas la possibilité d'avoir un point de selle ? Car au mieux on aurait effectivement un extremum non strict (ou simplement une fonctions constante (géométriquement, un plan)), au pire on aurait une fonction constante sur les axes seulement et donc un point de selle bien clair géométriquement.

Pour les cas "pathologiques" cela n'est pas exclu. Cependant, si la fonction considérée est C² (les dérivées partielles secondes existent et sont continues) ce n'est alors pas possible, et la fonction est bien localement plane dans toutes les directions.

[invite39e2954c]

Bonjour,
J'avais hésité à déterrer le sujet, mais...

Cependant, si la fonction considérée est C² (les dérivées partielles secondes existent et sont continues) ce n'est alors pas possible, et la fonction est bien localement plane dans toutes les directions.

J'ai un contre-exemple :
Si on considère la fonction
Elle a point stationnaire : (0,0). La matrice est Hessienne a un déterminant nul et une trace nulle en ce point.
Pourtant en analysant au voisinage de ce point on ne trouve pas la fonction constante (ni un extremum).

Non, comme, pour la valeur propre nulle, -0 = +0, vous ne savez pas si c'est un maximum local (+0) ou un minimum local (-0).

Pourtant dans ces cas, le signe du reste dans DL de Taylor est bien strictement positif (resp. négatif) suivant le signe d'une seule des deux valeurs propres et donc suivant le signe de la trace. Le valeur algébrique est strictement différente de 0.
C'est bien le signe du de ce reste dans le DL qui définit la nature du point stationnaire, non ?

[Paraboloide_Hyperbolique]

J'ai un contre-exemple :
Si on considère la fonction
Elle a point stationnaire : (0,0). La matrice est Hessienne a un déterminant nul et une trace nulle en ce point.
Pourtant en analysant au voisinage de ce point on ne trouve pas la fonction constante (ni un extremum).

Ce n'est effectivement pas un extremum et il me semble avoir déjà écrit qu'une hessienne de déterminant nul en un point stationnaire ne permet justement pas de dire que ce point est un extremum; c'est plutôt un point de selle.

Concernant le caractère constant de votre fonction (qui est bien de classe C²) au voisinage de zéro comment l'avez-vous analysé ? Si c'est en regardant sur un pc de quoi elle a l'air, c'est absolument inutile. Le voisinage "local" en question peut être extrêmement petit (de rayon arbitrairement proche de zéro, mais non-nul). Cela peut être absolument invisible pour un ordinateur, aussi puissant soit-il.

De mon coté, je trouve bien une fonction constante en ce voisinage, à savoir la fonction .

Une manière de le voir, est de calculer le plan tangent à votre fonction en (0, 0). Soit , ce plan. On a:

(le plan passe en (0, 0), c'est la moindre des choses).

En (0, 0), les dérivées du plan h(x, y) et de f(x, y) doivent également coïncider (par définition du plan tangent):


idem pour la dérivée suivant y:

On trouve donc que le plan tangent à f(x, y) en (0, 0) vaut:

Si la fonction n'était pas localement constante en (0, 0), le plan tangent ne serait lui-même pas constant.

Je n'est pas la définition de "localement plan" sous la main, mais cela devrait être quelque chose du type:

Une fonction f(x, y) est localement plane en (a, b) si (que l'on me corrige si c'est faux):


Pour le cas qui nous occupe, et si je ne me suis pas trompé dans mes calculs, convient.

Pourtant dans ces cas, le signe du reste dans DL de Taylor est bien strictement positif (resp. négatif) suivant le signe d'une seule des deux valeurs propres et donc suivant le signe de la trace. Le valeur algébrique est strictement différente de 0.
C'est bien le signe du de ce reste dans le DL qui définit la nature du point stationnaire, non ?

Non. Je m'explique:

La dérivée première caractérise le fait si un point est stationnaire ou non.
La dérivée seconde (hessienne) caractérise la concavité/convexité de ce point. --> A partir de ces deux informations, on peut déterminer le caractère extremal ou non d'un point.

Les termes de dérivées supérieures donnent d'autres informations. Si me souvenirs sont bons, les dérivées d'ordre 3 donnent une information quant au caractère symétrique (ou non) de la fonction au point considéré.