Points d' Accumulation:

invite7c2548ec · 31/07/2013, 01h21

bonjour une simple question sur le Points d' Accumulation en topologie j'arrive pas à appliquer la définition concernant ce si :

Exemple: La famille $\text{[math]}$ definit une topologie sur $\text{[math]}$ . Considérant la partie $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ et cherchant les points d’accumulations de $\text{[math]}$ ?

Là justement je bloque tout simplement pour appliquer la définition malgré que je là connaisse , pourriez vous me guidez sur son application merci d'avance .

Cordialement:

invite14e03d2a · 31/07/2013, 04h22

Salut,

pour commencer, un point d'accumulation de A est adherent a A. Quel est l'adherence de A?

Ensuite, les points adherents se classifient en deux sortes: les points isoles et les points d'accumulation. Quels sont les points d'accumulation de A? La topologie est finie, donc c'est tres facile a determiner.

Alternativement, tu peux tester directement si un point est un point d'accumulation. Par exemple, considere b. Quels sont ses voisinages ouverts? Quels sont les intersections de ces voisinages avec A? Est-il un point d'accumulation?

Cordialement

invite7c2548ec · 31/07/2013, 14h46

bonjour justement , j'ai pas utiliser cette définition qui utilise l’adhérence la définition que je veux utiliser pour cette exemple est celle ci.

définition: Soi $\text{[math]}$ un espace topologique .Un point $\text{[math]}$ est un point d' accumulation ou un point limite d' un sous-ensemble $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ ssi tout ouvert de $\text{[math]}$ contenant $\text{[math]}$ contient un point de $\text{[math]}$ différent de $\text{[math]}$ c'est à dire si ;

$\text{[math]}$ ouvert , $\text{[math]}$ implique $\text{[math]}$ ;

L'ensemble des points d'accumulation de $\text{[math]}$ ,noté $\text{[math]}$ est appelé l' ensemble dérivé de $\text{[math]}$ .

là justement taladris je bloque pour l'application de cette définition précisément merci encore ;

invite76543456789 · 31/07/2013, 15h19

Salut,
Il te suffit de tester tous les points.
Est ce que a en est un? Clairement pas puisqu'il est ouvert.
Pour b, il n'a qu'un seul voisinage ouvert, examine ce voisiange et conclut que b est point d'accumulation.
Pour c? Non.
Pour d? Oui.
Pour e? aussi.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Seirios** · 31/07/2013, 15h21

Les seuls points d'accumulation possible sont d et e, donc il suffit de les tester : tous les ouverts contenant d ou e intersectent-ils A ?

invite7c2548ec · 31/07/2013, 16h34

Merci Seirios et MissPacMan vous avez tout les deux une réponse juste suite à la solution devant moi :
et comment ce fait il que $\text{[math]}$ et pourtant $\text{[math]}$ n'est pas un point d'accumulation et pourtant il figure dans $\text{[math]}$

Cordialement

inviteea028771 · 31/07/2013, 16h40

$\text{[math]}$ n'est pas un point d’accumulation, car il existe un ouvert $\text{[math]}$ qui contient seulement $\text{[math]}$

invite7c2548ec · 31/07/2013, 17h05

Bonjour Tryss oui je suis d'accord avec vous pour la réponse

Code:

 n'est pas un point d’accumulation, car il existe un ouvert  qui contient seulement

par ce que là devant moi et dans le livre et motionner $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ est l'ensemble des points d'accumulation c'est à dire dérivé , peut être faute de frappe non

CORDIALEMENT

invite76543456789 · 31/07/2013, 17h09

C'est une erreur oui, l'ensemble des points d'accumulation est {b,d,e}

invite7c2548ec · 31/07/2013, 17h15

Tout à fait MissPacMan par ce que moi aussi j'avais des doutes sur la solution du livres ça s'appelle de la contribution utile merci MissPacMan;

Cordialement

invite7c2548ec · 17/03/2014, 19h50

Bonsoir à tous suite à ce topic :

Envoyé par topmath

bonjour une simple question sur le Points d' Accumulation en topologie j'arrive pas à appliquer la définition concernant ce si :

Exemple: La famille $\text{[math]}$ definit une topologie sur $\text{[math]}$ . Considérant la partie $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ et cherchant les points d’accumulations de $\text{[math]}$ ?

Là justement je bloque tout simplement pour appliquer la définition malgré que je là connaisse , pourriez vous me guidez sur son application merci d'avance .

Cordialement:

Et vu la réponse de

Envoyé par Seirios

Les seuls points d'accumulation possible sont d et e, donc il suffit de les tester : tous les ouverts contenant d ou e intersectent-ils A ?

je serai très reconnaissant d'avoir cette définition , celle que j'ai utilise le voisinage , avec un ou deux exemples de calcul car je vous avoue , que j'ai pas trouver cette définition avec un exemple , et merci d'avance .

Cordialement

**Seirios** · 17/03/2014, 23h55

Si j'ai bien compris ta question, tu peux montrer que dans la définition de point d'accumulation, les voisinages peuvent être supposés ouverts sans perte de généralité.

invite57a1e779 · 17/03/2014, 23h55

Envoyé par topmath

définition: Soi $\text{[math]}$ un espace topologique .Un point $\text{[math]}$ est un point d' accumulation ou un point limite d' un sous-ensemble $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ ssi tout ouvert de $\text{[math]}$ contenant $\text{[math]}$ contient un point de $\text{[math]}$ différent de $\text{[math]}$ c'est à dire si ;

$\text{[math]}$ ouvert , $\text{[math]}$ implique $\text{[math]}$

Je ne vois pas de voisinage dans l'histoire.

Sur quelle autre définition porte la question ?

invite7c2548ec · 18/03/2014, 18h58

Bonsoir à tous :

@Seirios: salut Seirios l'idéale c'est de nous donner un exemple de calcule de pt d'acc si possible et merci d'avance .
@God's Breath: salut God's Breath je sais qu'il y'a autre méthode pour le calcul de pt d'acc autre que celle ci:
"En mathématiques, un point d'accumulation d'une partie A d'un espace topologique E est un point x de E qui peut être « approché » par des points de A au sens où chaque voisinage de x – selon la topologie de E – contient un point de A distinct de x. Un tel point x n'est pas nécessairement un point de A. Ce concept généralise la notion de limite, et permet de définir des notions comme les espaces fermés et l'adhérence. De fait, pour qu'un espace soit fermé, il faut et il suffit qu'il contienne tous ses points d'accumulation." selon wiki et merci d'avance .

Amicalement

invite57a1e779 · 18/03/2014, 19h21

Comme l'a dit Seirios, se restreindre aux ouverts ne modifie rien.

Si les voisinages de x contiennent un point de A autre que x, alors c'est en particulier vrai pour les ouverts qui contiennent x puisque ce sont des voisinages de x.

Si les ouverts contenant x contiennent un point de A autre que x, alors tout voisinage de x contient un ouvert qui contient lui-même x ; cet ouvert contient un point de A autre que x, et ce point appartient aussi au voisinage qui contient l'ouvert.

invite7c2548ec · 18/03/2014, 19h29

Bonsoir à tous :
@God's Breath: Je vais essayer d'appliquer à la lettre , votre suggestion sur le calcul du pt d'acc et je vais vous faire par en postant ceux ci merci encore .

Cordialement

invite57a1e779 · 18/03/2014, 20h00

Envoyé par topmath

La famille $\text{[math]}$ definit une topologie sur $\text{[math]}$ . Considérant la partie $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ et cherchant les points d’accumulations de $\text{[math]}$ ?

Ouverts contenant $\text{[math]}$ : en particulier $\text{[math]}$ qui ne contient pas de point de $\text{[math]}$ autre que $\text{[math]}$ ; donc $\text{[math]}$ n'est pas un point d'accumulation de $\text{[math]}$ . Si l'on veut présenter avec les voisinages : $\text{[math]}$ est un voisinage de $\text{[math]}$ qui ne contient pas de point de $\text{[math]}$ autre que $\text{[math]}$ ; autrement dit $\text{[math]}$ est un point isolé de $\text{[math]}$ .

Ouverts contenant $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (ce sont les seuls voisinages de $\text{[math]}$ ) ; ces ouverts contiennent tous le point $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ est un point d'accumulation de $\text{[math]}$ .

Ouverts contenant $\text{[math]}$ : en particulier $\text{[math]}$ qui ne contient pas de point de $\text{[math]}$ autre que $\text{[math]}$ ; donc $\text{[math]}$ n'est pas un point d'accumulation de $\text{[math]}$ . Même remarque pour $\text{[math]}$ en ce qui concerne les voisinages.

Ouverts contenant $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ; ces ouverts contiennent tous le point $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ est un point d'accumulation de $\text{[math]}$ . Si l'on veut les voisinages on va ajouter $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , mais ça n'apporte rien de nouveau, comme il fallait s'y attendre.

Ouverts contenant $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (ce sont les seuls voisinages de $\text{[math]}$ ) ; ces ouverts contiennent tous le point $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ est un point d'accumulation de $\text{[math]}$ .

On conclut donc que : $\text{[math]}$ .

invite7c2548ec · 18/03/2014, 21h16

Merci God's Breath , je vais essayer de suivre votre réponse c'est très intéressant merci .

Cordialement

invite7c2548ec · 25/03/2014, 19h44

Bonsoir à tous (*):

Envoyé par topmath

Merci God's Breath , je vais essayer de suivre votre réponse c'est très intéressant merci .
Cordialement

On suivant avec attention cette réponse intéressante de God's Breath que je le remerci .Voila le travail consiste à trouver les points d'accumulations de $\text{[math]}$ ,Voila mon essai je vais tester tout les compléments des éléments de $\text{[math]}$ contenue dans les ouverts de $\text{[math]}$ qui contienne un élément de $\text{[math]}$ autre que celui tester on les intersectant avec $\text{[math]}$ il faut que cette intersection sois différente de $\text{[math]}$ (application de la définition ):

définition: Soi $\text{[math]}$ un espace topologique .Un point $\text{[math]}$ est un point d' accumulation ou un point limite d' un sous-ensemble $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ ssi tout ouvert de $\text{[math]}$ contenant $\text{[math]}$ contient un point de $\text{[math]}$ différent de $\text{[math]}$ c'est à dire si ;
$\text{[math]}$ ouvert , $\text{[math]}$ implique $\text{[math]}$ ;
L'ensemble des points d'accumulation de $\text{[math]}$ ,noté $\text{[math]}$ est appelé l' ensemble dérivé de $\text{[math]}$ .

Appelant les ouverts $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
1)Teste de $\text{[math]}$ :
les ouverts contenant $\text{[math]}$ sont $\text{[math]}$ ,on remarque vite que $\text{[math]}$ ne contient pas d'autre élément autre que $\text{[math]}$ , n'est pas un point d'accumulation .
2)Teste de $\text{[math]}$ :
Les ouverts contenant $\text{[math]}$ sont $\text{[math]}$
Le complément de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
Le complément de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ pt d'acc .
3)Teste de $\text{[math]}$ :
Les ouverts contenant $\text{[math]}$ sont $\text{[math]}$
On vois clairement que Le complément de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ cela suffit pour que $\text{[math]}$ ne sois pas un point d'accumulation .
4)Teste de $\text{[math]}$ :
Les ouverts contenant $\text{[math]}$ sont $\text{[math]}$
Le complément de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
Le complément de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
Le complément de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
Le complément de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ est un point d'acc .
4)Teste de $\text{[math]}$ :
Les ouverts contenant $\text{[math]}$ sont $\text{[math]}$
Le complément de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
Le complément de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ est un point d'acc .

Finalement $\text{[math]}$ Quand pensez vous ? vos critiques sont un véritable aide , et merci d'avance .

Cordialement

(*):Sous réserve de fautes de saisie encore d’orthographe merci .

invite7c2548ec · 25/03/2014, 20h02

Bonsoir à tous une petite coquille je rectifie à la place de b en rouge c'est $\text{[math]}$

Envoyé par topmath

3)Teste de $\text{[math]}$ :.
Les ouverts contenant $\text{[math]}$ sont $\text{[math]}$
On vois clairement que Le complément de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ cela suffit pour que $\text{[math]}$ ne sois pas un point d'accumulation .

Cordialement

**acx01b** · 25/03/2014, 20h09

question bête : j'ai vu que les topologies sur les ensembles dénombrables pouvaient servir à faire des démonstrations tordues, par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A...mbres_premiers

Mais les topologies sur les ensembles finis, ça sert à quoi ? Il y a des exemples pour se convaincre que c'est utile (ou au moins que ça a une valeur disons esthétique?)

invite7c2548ec · 26/03/2014, 19h04

Voila cette exercice n'est pas de mon œuvre c'est un exercice d'application du livre "TOPOLOGIE COURS ET PROBLÈMES" page 76 exemple 2.1 du Groupe McGraw-Hill nom de l'auteur Seymour Lipschuts Série Schaum. le reste ...^^ .

Points d' Accumulation:

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